1

x

هدف البحث

بحث في العناوين

بحث في اسماء الكتب

بحث في اسماء المؤلفين

اختر القسم

القرآن الكريم
الفقه واصوله
العقائد الاسلامية
سيرة الرسول وآله
علم الرجال والحديث
الأخلاق والأدعية
اللغة العربية وعلومها
الأدب العربي
الأسرة والمجتمع
التاريخ
الجغرافية
الادارة والاقتصاد
القانون
الزراعة
علم الفيزياء
علم الكيمياء
علم الأحياء
الرياضيات
الهندسة المدنية
الأعلام
اللغة الأنكليزية

موافق

تاريخ الرياضيات

الاعداد و نظريتها

تاريخ التحليل

تار يخ الجبر

الهندسة و التبلوجي

الرياضيات في الحضارات المختلفة

العربية

اليونانية

البابلية

الصينية

المايا

المصرية

الهندية

الرياضيات المتقطعة

المنطق

اسس الرياضيات

فلسفة الرياضيات

مواضيع عامة في المنطق

الجبر

الجبر الخطي

الجبر المجرد

الجبر البولياني

مواضيع عامة في الجبر

الضبابية

نظرية المجموعات

نظرية الزمر

نظرية الحلقات والحقول

نظرية الاعداد

نظرية الفئات

حساب المتجهات

المتتاليات-المتسلسلات

المصفوفات و نظريتها

المثلثات

الهندسة

الهندسة المستوية

الهندسة غير المستوية

مواضيع عامة في الهندسة

التفاضل و التكامل

المعادلات التفاضلية و التكاملية

معادلات تفاضلية

معادلات تكاملية

مواضيع عامة في المعادلات

التحليل

التحليل العددي

التحليل العقدي

التحليل الدالي

مواضيع عامة في التحليل

التحليل الحقيقي

التبلوجيا

نظرية الالعاب

الاحتمالات و الاحصاء

نظرية التحكم

بحوث العمليات

نظرية الكم

الشفرات

الرياضيات التطبيقية

نظريات ومبرهنات

علماء الرياضيات

500AD

500-1499

1000to1499

1500to1599

1600to1649

1650to1699

1700to1749

1750to1779

1780to1799

1800to1819

1820to1829

1830to1839

1840to1849

1850to1859

1860to1864

1865to1869

1870to1874

1875to1879

1880to1884

1885to1889

1890to1894

1895to1899

1900to1904

1905to1909

1910to1914

1915to1919

1920to1924

1925to1929

1930to1939

1940to the present

علماء الرياضيات

الرياضيات في العلوم الاخرى

بحوث و اطاريح جامعية

هل تعلم

طرائق التدريس

الرياضيات العامة

نظرية البيان

الرياضيات : الرياضيات التطبيقية :

Lagrange Interpolating Polynomial

المؤلف:  Abramowitz, M. and Stegun, I. A.

المصدر:  Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover

الجزء والصفحة:  ...

19-11-2021

2392

Lagrange Interpolating Polynomial

 LagrangeInterpolatingPoly

The Lagrange interpolating polynomial is the polynomial P(x) of degree <=(n-1) that passes through the n points (x_1,y_1=f(x_1))(x_2,y_2=f(x_2)), ..., (x_n,y_n=f(x_n)), and is given by

 P(x)=sum_(j=1)^nP_j(x),

(1)

where

 P_j(x)=y_jproduct_(k=1; k!=j)^n(x-x_k)/(x_j-x_k).

(2)

Written explicitly,

P(x) = ((x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n))/((x_1-x_2)(x_1-x_3)...(x_1-x_n))y_1+((x-x_1)(x-x_3)...(x-x_n))/((x_2-x_1)(x_2-x_3)...(x_2-x_n))y_2+...+((x-x_1)(x-x_2)...(x-x_(n-1)))/((x_n-x_1)(x_n-x_2)...(x_n-x_(n-1)))y_n.

(3)

The formula was first published by Waring (1779), rediscovered by Euler in 1783, and published by Lagrange in 1795 (Jeffreys and Jeffreys 1988).

Lagrange interpolating polynomials are implemented in the Wolfram Language as InterpolatingPolynomial[datavar]. They are used, for example, in the construction of Newton-Cotes formulas.

When constructing interpolating polynomials, there is a tradeoff between having a better fit and having a smooth well-behaved fitting function. The more data points that are used in the interpolation, the higher the degree of the resulting polynomial, and therefore the greater oscillation it will exhibit between the data points. Therefore, a high-degree interpolation may be a poor predictor of the function between points, although the accuracy at the data points will be "perfect."

For n=3 points,

P(x) = ((x-x_2)(x-x_3))/((x_1-x_2)(x_1-x_3))y_1+((x-x_1)(x-x_3))/((x_2-x_1)(x_2-x_3))y_2+((x-x_1)(x-x_2))/((x_3-x_1)(x_3-x_2))y_3

(4)

= (2x-x_2-x_3)/((x_1-x_2)(x_1-x_3))y_1+(2x-x_1-x_3)/((x_2-x_1)(x_2-x_3))y_2+(2x-x_1-x_2)/((x_3-x_1)(x_3-x_2))y_3.

(5)

Note that the function P(x) passes through the points (x_i,y_i), as can be seen for the case n=3,

P(x_1) = ((x_1-x_2)(x_1-x_3))/((x_1-x_2)(x_1-x_3))y_1+((x_1-x_1)(x_1-x_3))/((x_2-x_1)(x_2-x_3))y_2+((x_1-x_1)(x_1-x_2))/((x_3-x_1)(x_3-x_2))y_3=y_1

(6)

P(x_2) = ((x_2-x_2)(x_2-x_3))/((x_1-x_2)(x_1-x_3))y_1+((x_2-x_1)(x_2-x_3))/((x_2-x_1)(x_2-x_3))y_2+((x_2-x_1)(x_2-x_2))/((x_3-x_1)(x_3-x_2))y_3=y_2

(7)

P(x_3) = ((x_3-x_2)(x_3-x_3))/((x_1-x_2)(x_1-x_3))y_1+((x_3-x_1)(x_3-x_3))/((x_2-x_1)(x_2-x_3))y_2+((x_3-x_1)(x_3-x_2))/((x_3-x_1)(x_3-x_2))y_3=y_3.

(8)

Generalizing to arbitrary n,

 P(x_j)=sum_(k=1)^nP_k(x_j)=sum_(k=1)^ndelta_(jk)y_k=y_j.

(9)

The Lagrange interpolating polynomials can also be written using what Szegö (1975) called Lagrange's fundamental interpolating polynomials. Let

pi(x) = product_(k=1)^(n)(x-x_k)

(10)

pi(x_j) = product_(k=1)^(n)(x_j-x_k),

(11)

= [(dpi)/(dx)]_(x=x_j)

(12)

= product_(k=1; k!=j)^(n)(x_j-x_k)

(13)

so that pi(x) is an nth degree polynomial with zeros at x_1, ..., x_n. Then define the fundamental polynomials by

(14)

which satisfy

 pi_nu(x_mu)=delta_(numu),

(15)

where delta_(numu) is the Kronecker delta. Now let y_1=P(x_1), ..., y_n=P(x_n), then the expansion

(16)

gives the unique Lagrange interpolating polynomial assuming the values y_k at x_k. More generally, let dalpha(x) be an arbitrary distribution on the interval [a,b]{p_n(x)} the associated orthogonal polynomials, and l_1(x), ..., l_n(x) the fundamental polynomials corresponding to the set of zeros of a polynomial P_n(x). Then

 int_a^bl_nu(x)l_mu(x)dalpha(x)=lambda_mudelta_(numu)

(17)

for nu,mu=1, 2, ..., n, where lambda_nu are Christoffel numbers.

Lagrange interpolating polynomials give no error estimate. A more conceptually straightforward method for calculating them is Neville's algorithm.


REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 878-879 and 883, 1972.

Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 439, 1987.

Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "Lagrange's Interpolation Formula." §9.011 in Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 260, 1988.

Pearson, K. Tracts for Computers 2, 1920.

Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Polynomial Interpolation and Extrapolation" and "Coefficients of the Interpolating Polynomial." §3.1 and 3.5 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 102-104 and 113-116, 1992.

Séroul, R. "Lagrange Interpolation." §10.9 in Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag, pp. 269-273, 2000.

Szegö, G. Orthogonal Polynomials, 4th ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 329 and 332, 1975.

Waring, E. Philos. Trans. 69, 59-67, 1779.

Whittaker, E. T. and Robinson, G. "Lagrange's Formula of Interpolation." §17 in The Calculus of Observations: A Treatise on Numerical Mathematics, 4th ed. New York: Dover, pp. 28-30, 1967.