تحويلات لورانتز   Lorentz transformations 

نفرض إطاران مرجعيان ساكنان S, S^/  و النظام S^/  يتحرك بسرعة منتظمة v  في الاتجاه الموجب لمحور X  كما هو موضح من الرسم (انظر تحويلات جاليليو).فإذا وقع حدث معين (وميض مثلا) عند النقطة A   و أن هناك مراقبين رصدا هذا الحدث بحيث أن  t = t^/ = 0 عندما كانت  o^/  منطبقة على o أي عندما x = x^/ = 0. اذا اصدر المراقب الموجود في S^/  وميضا فانه بعد زمن t^/  يجد نفسه هذا المراقب في مركز كرة ضوئية نصف قطرها r^/ = ct^/   حيث c  سرعة الضوء. و معادلة هذه الكرة على الصورة

(1)

و بالمثل يجد نفسه المراقب  S  بعد زمن t    في مركز كرة ضوئية معادلتها هي :

         (2)

نلاحظ من المعادلتين السابقتين أن سرعة الضوء واحدة لم تتغير بالنسبة للمراقبين أو بالنسبة للإطارين، و هذا يتفق مع الفرض الثاني للنظرية النسبية الخاصة. و نلاحظ أيضا أن معادلة الدائرة لها نفس الصيغة الرياضية في الحالتين و هذا يتوافق مع الفرض الأول لأينشتين.

التحويلات المطلوبة هي عبارة عن المعادلات التي تربط بين المتغيرات(x, y, z, t) و المتغيرات (x^/ , y^/, z^/, t^/) و التي يمكن من خلالها تحويل أي من المعادلتين إلى المعادلة الأخرى.

و بدراستنا للإطارين المرجعيين S, S^/ نلاحظ أن الاختلاف بين المعادلتين السابقتين يرجع فقط الى المتغيرات (x, t)  و (x^/, t^/). و بذلك فان معادلات التحويل y = y^/  و z = z^/  لا ينتج عنها أي اختلاف ( حيث أن الفضاء متماثل). و بسبب تماثل الفضاء و انتظام قوانين الطبيعة فيمكن افتراض أن معادلات التحويل بين المتغيرات (x , t) و (x^/ , t^/) هي معادلات خطية يمكن أن تكتب على الصورة:

    (3)

(4)

حيث أن a₁, a₂ , b₁ b₂  هي ثوابت يجب تعينها لمعرفة معادلات التحويل.

و عندما يكون  x^/ = 0 أي في مركز الإسناد S^/  يكون  x = v t  و بالتعويض بهذه القيمة في المعادلة (3) نحصل على:

(5)

   و بالتعويض من المعادلتين  (4) و (5) في المعادلة (1) مع الأخذ في الاعتبار أن y = y^/   و z = z^/   يمكننا الحصول على:

و هذه المعادلة تأخذ الصورة الأتية:

(6)

و بمقارنة معاملات المعادلتين (6) و (2) نحصل على:

    (7)

   (8)   

  (9)

 و بحل المعادلات الثلاثة الأخيرة يمكننا الحصول على:

  (10)

 (11)

و بالتعويض من المعادلة (20) في المعادلة (15) نحصل على العلاقة الاتية:

 (12)

حيث أن

و يسمى  γ  معامل لورنتز.

و بالتعويض من المعادلتين (20)و (21) في المعادلة (14) نحصل على العلاقة:

 (13)

و بذلك تصبح معادلات التحويل هي:

(14)

تعرف هذه المعادلات الأربعة بتحويل لورنتز نسبة للعالم الهولندي Lorentz و الذى حصل عليها عام 1903 أي قبل النظرية النسبية لأينشتين بعامين. هذا و قد حصل لورنتز على هذه المعادلات أثناء دراسة حركة الجسيمات المادية في المجال الكهرومغناطيسي. و لكن لم يفطن لورنتز إلى أهمية هذه المعادلات، حيث استخدم السرعة v  لكى تعبر عن سرعة الجسيم بالنسبة للأثير ( و الذى لا وجود له في الحقيقة). و عندما جاءت النظرية النسبية لأينشتين و استخدمت هذه المعادلات بمعالجة مختلفة، حيث تشير   v في هذه الحالة أن النظام S^/  يتحرك بسرعة منتظمة v  بالنسبة للنظام S .

و لذلك تسمى هذه المعادلات أحيانا معادلات لورنتز – أينشتين و التي تعتبر الأساس للنظرية النسبية لأينشتين.

و يمكننا الحصول تحويل لورنتز – أينشتين العكسي إذا افترضنا أن إطار الإسناد S^/ يتحرك بسرعة v- بالنسبة لإطار الإسناد S. و يمكننا ذلك رياضا بالتعويض عن v ب v- و نستبدل القيم ذات الشرطة بنظيراتها بدون شرطة كما يلى

(15)