Let X be a topological space with topology τ , and let A be a subset of X.

Let τ_A be the collection of all subsets of A that are of the form V ∩ A for V ∈ τ . Then τ_A is a topology on the set A. (It is a straightforward exercise to verify that the topological space axioms are satisfied.) The topology τ_A on A is referred to as the subspace topology on A.

Any subset of a Hausdorff space is itself a Hausdorff space (with respect to the subspace topology).

Let X be a metric space with distance function d, and let A be a subset of X. It is not difficult to prove that a subset W of A is open with respect to the subspace topology on A if and only if, given any point w of W, there exists some δ > 0 such that

                                {a ∈ A : d(a, w) < δ} ⊂ W.

Thus the subspace topology on A coincides with the topology on A obtained on regarding A as a metric space (with respect to the distance function d).

Example: Let X be any subset of n-dimensional Euclidean space Rⁿ . Then the subspace topology on X coincides with the topology on X generated by the Euclidean distance function on X. We refer to this topology as the usual topology on X.

Let X be a topological space, and let A be a subset of X. One can readily verify the following:—

• a subset B of A is closed in A (relative to the subspace topology on A)  if and only if B = A ∩ F for some closed subset F of X;

• if A is itself open in X then a subset B of A is open in A if and only if it is open in X;

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الفكرية يطلق فعاليات الأسبوع الثالث من برنامج البذرة الصالحة

تكريم الفائزين في المسابقة الثقافية الخاصّة بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

بذكرى ولادتهما.. العتبة العباسية المقدسة تستذكر السيرة العطرة للإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

العتبة العباسية المقدسة تنظم احتفالها المركزي بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle