Let R and S be unital rings with multiplicative identity elements 1_R and 1_S,  and let S op be the unital ring (S, +, ×^-) whose elements are those of S, whose operation of addition is the same as that defined on S, and whose operation×^- of multiplication is defined such that s₁×^-s₂ = s₂s₁ for all s₁, s₂ ∈ S.

We can then construct a ring R ⊗_Z S^op. The elements of this ring belong to the tensor product of the rings R and S^op over the ring Z of integers, and the operation of addition on R ⊗_Z S op is that defined on the tensor product.

The operation of multiplication on R ⊗_Z S^op is then defined such that

                   (r₁ ⊗ s₁) × (r₂ ⊗ s₂) = (r₁r₂) ⊗ (s₁×^-s₂) = (r₁r₂) ⊗ (s₂s₁).

Lemma 1.1  Let R and S be unital rings, and let M be an R-S-bimodule.

Then M is a left module over the ring R ⊗_ZS^op, where

                                (r₁ ⊗ s₁) × (r₂ ⊗ s₂) = (r₁r₂) ⊗ (s₂s₁)

for all r₁, r₂ ∈ R and s₁, s₂ ∈ S, and where

                                                  (r ⊗ s).x = (rx)s = r(xs)

for all r ∈ R, s ∈ S and x ∈ M.

Proof Given any element x of M, let b_x: R × S → M be the function defined such that b_x(r, s) = (rx)s = r(xs) for all r ∈ R and s ∈ S. Then the function b_x is Z-bilinear, and therefore induces a unique Z-module homomorphismβ_x: R ⊗_Z S^op → M, where β_x(r ⊗ s) = b_x(r, s) = (rx)s for all r ∈ R,  s ∈ S and x ∈ M. We define u.x = β_x(u) for all u ∈ R ⊗_Z S^op and x ∈ M.

Then (u₁ + u₂).x = u₁.x + u₂.x for all u₁, u₂ ∈ R ⊗_Z S^op and x ∈ M, because β_x is a homomorphism of Abelian groups. Also u.(x₁ + x₂) = u.x₁ + u.x₂,  because b_x1+x2 = b_x1 + b_x2 and therefore β_x1+x2 = β_x1 + β_x2.

Now

                    (r₁ ⊗ s₁).((r₂ ⊗ s₂).x) = (r₁ ⊗ s₁).((r₂x)s₂) = r₁(r₂(xs₂))s₁

                                                               = ((r₁r₂)(xs₂))s₁ = (r₁r₂)((xs₂)s₁)

                                                              = (r₁r₂)(x(s₂s₁) = ((r₁r₂) ⊗_Z (s₂s₁)).x

                                                             = ((r₁ ⊗_Z s₁) × (r₂ ⊗_Z s₂)).x

for all r₁, r₂ ∈ R, s₁, s₂ ∈ S and x ∈ M. The bilinearity of the function β_x then ensures that u₁.(u₂.x) = (u₁×u₂).x for all u₁, u₂ ∈ R⊗_Z S^op and x ∈ M.

Also (1_R, 1_S).x = x for all x ∈ M, where 1_R and 1_S denote the identity elements of the rings R and S. We conclude that M is a left R ⊗_Z S^op, as required.

Let R and S be unital rings, and let M be a left module over the ring R ⊗_Z S^op. Then M can be regarded as an R-S-bimodule, where (rx)s = r(xs) = (r ⊗ s).x for all r ∈ R, s ∈ S and x ∈ M. We conclude therefore that all R-S-bimodules are left modules over the ring R ⊗_Z S op, and vica versa. It follows that any general result concerning left modules over unital rings yields a corresponding result concerning bimodules.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الفكرية يطلق فعاليات الأسبوع الثالث من برنامج البذرة الصالحة

تكريم الفائزين في المسابقة الثقافية الخاصّة بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

بذكرى ولادتهما.. العتبة العباسية المقدسة تستذكر السيرة العطرة للإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

العتبة العباسية المقدسة تنظم احتفالها المركزي بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle