Proposition 1.1 Let R and S be unital rings, let M be an R-S-bimodule and let FSX be a free left S-module on a set X. Then the tensor product M ⊗S F_SX is isomorphic, as an R-module, to Γ(X, M), where Γ(X, M) is the left R-module whose elements are represented as functions from X to M with only finitely many non-zero values, and where (λ+µ)(x) = λ(x) +µ(x),  and (rλ)(x) = rλ(x) for all λ, µ ∈ Γ(X, M) and r ∈ R.

Proof The elements of the free left S-module F_SX are represented as functions from X to S. Let f: M × F_SX → Γ(X, M) be the Z-bilinear function defined such that f(m, σ)(x) = mσ(x) for all m ∈ M, σ ∈ F_SX and x ∈ X.

Then f(ms, σ) = f(m, sσ) for all m ∈ M, σ ∈ FSX and s ∈ S. It follows from Lemma 1.1in(Tensor Products over Non-Commutative Rings) that the function f induces a unique homomorphism θ: M ⊗S F_SX → Γ(X, M) such that θ(m ⊗ σ) = f(m, σ). Moreover θ is an R-module homomorphism.

Given µ ∈ Γ(X, M) we define

                       ϕ(µ) = ∑_{x∈supp µ} µ(x) ⊗ δx,

where supp µ = {x ∈ X : µ(x) ≠0} and δ_x denotes the function from X to S which takes the value 1_S at x and is zero elsewhere. Then ϕ: Γ(X, M) → M ⊗S F_SX is also an R-module homomorphism. Now

for all m ∈ M and σ ∈ F_SX. It follows that ϕ◦θ is the identity automorphism

of the tensor product M ⊗_S F_SX.

Also

for all µ ∈ Γ(X, M). Thus θ ◦ ϕ is the identity automorphism of Γ(X, M).

We conclude that θ: M ⊗S F_SX → Γ(X, M) is an isomorphism of R-modules,  as required.

Let R be a unital ring. We can regard R as an R-Z-bimodule, where rn is the sum of n copies of r and r(−n) = −rn for all non-negative integers n and elements r of R. We may therefore form the tensor product R ⊗_Z A ofthe ring R with any additive group A. (An additive group as an Abelian group where the group operation is expressed using additive notation.) This tensor product is an R-module. The following corollary is therefore a direct consequence of Proposition 1.1.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الفكرية يطلق فعاليات الأسبوع الثالث من برنامج البذرة الصالحة

تكريم الفائزين في المسابقة الثقافية الخاصّة بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

بذكرى ولادتهما.. العتبة العباسية المقدسة تستذكر السيرة العطرة للإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

العتبة العباسية المقدسة تنظم احتفالها المركزي بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle