Let Q, R and S be unital rings, let M be a Q-R-bimodule, and let N be an R-S-bimodule. Then M is a right R-module and N is a left R-module. We can therefore form the tensor product M ⊗_R N of M and N over the ring R.

This tensor product is an Abelian group under the operation of addition.

           Let q ∈ Q and r ∈ R. The definition of bimodules ensures that (qx)r = q(xr) for all x ∈ M. Let Lq: M ×N → M ⊗R N be the function defined such that L_q(x, y) = (qx) ⊗ y for all x ∈ M and y ∈ N. Then the function f is Z-bilinear. Moreover

                    L_q(xr, y) = (q(xr)) ⊗ y = ((qx)r) ⊗ y = (qx) ⊗ (ry) = Lq(x, ry).

for all x ∈ M and y ∈ N. It follows from Lemma 8.14 that there exists a group homomorphism λ_q: M ⊗_R N → M ⊗_R N, where λ_q(x⊗y) = (qx)⊗y for all x ∈ M and y ∈ N. Similarly, given any element s of the ring S, there exists a group homomorphism ρs: M ⊗_R N → M ⊗_R N, where λ_s(x⊗y) = x⊗(ys).

We define qα = λ_q(α) and αs = ρs(α) for all α ∈ M ⊗_R N. One can check that M ⊗_R N is a Q-S-bimodule with respect to these operations of left multiplication by elements of Q and right multiplication by elements of S. Moreover, given any Q-S-bimodule P, and given any Z-bilinear function f: M × N → P that satisfies

                          f(qx, y) = qf(x, y), f(xr, y) = f(x, ry), f(x, ys) = f(x, y)s

for all x ∈ M, y ∈ N, q ∈ Q, r ∈ R and s ∈ S, there exists a unique Q-S bimodule homomorphism ϕ: M ⊗R N → P such that f(x, y) = ϕ(x ⊗ y) for all x ∈ M and y ∈ N.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الفكرية يطلق فعاليات الأسبوع الثالث من برنامج البذرة الصالحة

تكريم الفائزين في المسابقة الثقافية الخاصّة بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

بذكرى ولادتهما.. العتبة العباسية المقدسة تستذكر السيرة العطرة للإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

العتبة العباسية المقدسة تنظم احتفالها المركزي بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle