Let R be a unital ring that is not necessarily commutative, let M be a right R-module, and let N be a left R-module. These modules are Abelian groups under the operation of addition, and Abelian groups are modules over the ring Z of integers. We can therefore form their tensor product M ⊗_Z N. This tensor product is an Abelian group.

Let K be the subgroup of M ⊗Z N generated by the elements

                 (xr) ⊗_Z y − x ⊗_Z (ry)

for all x ∈ M, y ∈ N and r ∈ R, where x ⊗_Z y denotes the tensor product of x and y in the ring M ⊗_Z N. We define the tensor product M ⊗_R N of the right R-module M and the left R-module N over the ring R to be the quotient group M ⊗_Z N/K. Given x ∈ M and y ∈ N, let x ⊗ y denote the

image of x ⊗_Z y under the quotient homomorphism π: M ⊗_Z N → M ⊗_R N.

Then

                (x₁ + x₂) ⊗ y = x₁ ⊗ y + x₂ ⊗ y, x ⊗ (y₁ + y₂) = x ⊗ y₁ + x ⊗ y₂,

and

                                   (xr) ⊗ y = x ⊗ (ry)

for all x, x₁, x₂ ∈ M, y, y₁, y₂ ∈ N and r ∈ R.

Lemma 1.1 Let R be a unital ring, let M be a right R-module, and let N be a left R-module. Then the tensor product M ⊗_R N of M and N is an Abelian group that satisfies the following universal property:

given any Abelian group P, and given any Z-bilinear function

f: M × N → P which satisfies

                     f(xr, y) = f(x, ry)

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الفكرية يطلق فعاليات الأسبوع الثالث من برنامج البذرة الصالحة

تكريم الفائزين في المسابقة الثقافية الخاصّة بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

بذكرى ولادتهما.. العتبة العباسية المقدسة تستذكر السيرة العطرة للإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

العتبة العباسية المقدسة تنظم احتفالها المركزي بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle