Let M₁, M₂, . . . , M_n be modules over a unital commutative ring R, and let P be an R-module. A function f: M₁ × M₂ × · · · × M_n → P is said to be R-multilinear if

              f(x₁, . . . , x_k−1, x`k + x``_k, x_k+1, . . . , x_n)

                            = f(x₁, . . . , x_k−1, x`k, x_k+1, . . . , x_n)

                                         + f(x₁, . . . , x_k−1, x``k, x_k+1, . . . , x_n)

and

               f(x₁, . . . , x_k−1, rx_k, x_k+1, . . . , x_n) = rf(x₁, . . . , x_k−1, x_k, x_k+1, . . . , x_n)

for k = 1, 2, . . . , n, for all x_l, x`_l, x``_l ∈ Ml (l = 1, 2, . . . , n), and for all r ∈ R.

(When k = 1 the list x₁, . . . , x_k−1 should be interpreted as the empty list in the formulae above; when k = n the list x_k+1, . . . , x_n should be interpreted as the empty list.) One can construct a module M₁ ⊗_R M₂ ⊗_R · · · ⊗_R M_n,  referred to as the tensor product of the modules M₁, M₂, . . . , M_n over the ring R, and an R-multilinear mapping

j_{M1×M2×···×Mn}: M₁ × M₂ × · · · × M_n → M₁ ⊗_R M₂ ⊗_R · · · ⊗_R M_n

where the tensor product and multilinear mapping j_{M1×M2×···×Mn} satisfy the following universal property:

given any R-module P, and given any R-multilinear function f: M₁ × M₂ × · · · × M_n → P, there exists a unique R-module homomorphism θ: M₁ ⊗_R M₂ ⊗_R · · · ⊗_R M_n → P such that f = θ ◦ j_{M1×M2×···×Mn}

This tensor product is defined to be the quotient of the free module F_R(M₁×M₂×· · ·×M_n) by the submodule K generated by elements of the free module that are of the form

i_{M1×M2×···×Mn} (x₁, . . . , x_k−1, x`_k + x``_k, x_k+1, . . . , x_n)

             − i_{M1×M2×···×Mn} (x₁, . . . , x_k−1, x`_k, x_k+1, . . . , x_n)

            − i_{M1×M2×···×Mn} (x₁, . . . , x_k−1, x``_k, x_k+1, . . . , x_n),

or are of the form

               i_{M1×M2×···×Mn} (x₁, . . . , x_k−1, rx_k, x_k+1, . . . , x_n)

                       − ri_{M1×M2×···×Mn} (x₁, . . . , x_k−1, x_k, x_k+1, . . . , x_n),

where x_l, x`_l, x``_l ∈ M_l  for l = 1, 2, . . . , n, and r ∈ R. There is an R-multilinear function

j_{M1×M2×···×Mn}: M₁ × M₂ × · · · × M_n → M₁ ⊗_R M₂ ⊗_R · · · ⊗_R M_n,  where j_{M1×M2×···×Mn}

is the composition π ◦ i_{M1×M2×···×Mn} of the natural embedding

i_{M1×M2×···×Mn}: M₁ × M₂ × · · · × M_n → F_R(M₁ × M₂ × · · · × M_n)

and the quotient homomorphism

            π: F_R(M₁ × M₂ × · · · × M_n) → M₁ ⊗_R M₂ ⊗R · · · ⊗_R M_n.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الفكرية يطلق فعاليات الأسبوع الثالث من برنامج البذرة الصالحة

تكريم الفائزين في المسابقة الثقافية الخاصّة بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

بذكرى ولادتهما.. العتبة العباسية المقدسة تستذكر السيرة العطرة للإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

العتبة العباسية المقدسة تنظم احتفالها المركزي بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle