Definition Let R and S be unital rings. An R-S-bimodule is an Abelian group M, where elements of M may be multiplied on the left by elements of R, and may also be multiplied on the right by elements of S, and where the following properties are satisfied:

(i) M is a left R-module;

(ii) M is a right S-module;

(iii) (rx)s = r(xs) for all x ∈ M, r ∈ R and s ∈ S.

Example Let K be a field, let m and n be positive integers, and let Mm,n(K)  denote the set of m × n matrices with coefficients in the field K. Then Mm,n(K) is an Abelian group with respect to the operation of matrix addition.

The elements of M_m,n(K) may be multiplied on the left by elements of the ring M_m(K) of m × m matrices with coefficients in K; they may also be multiplied on the right by elements of the ring M_n(K) of n × n matrices with coefficients in K; these multiplication operations are the usual ones resulting from matrix multiplication. Moreover (AX)B = A(XB) for all X ∈ M_m,n(K), A ∈ M_m(K) and B ∈ M_n(K). Thus M_m,n(K) is an M_m(K)-M_n(K)-bimodule.

If R is a unital commutative ring then any R-module M may be regarded as an R-R-bimodule, where (rx)s = r(xs) = (rs)x for all x ∈ M and r, s ∈ R.

Definition Let R and S be unital rings, and let M and N be R-S-bimodules.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي يحتفي بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

قسم الشؤون الفكرية يطلق فعاليات الأسبوع الثالث من برنامج البذرة الصالحة

تكريم الفائزين في المسابقة الثقافية الخاصّة بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

بذكرى ولادتهما.. العتبة العباسية المقدسة تستذكر السيرة العطرة للإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle