Proposition 1.1 Let K be the simplicial complex consisting of all the proper faces of an (n + 1)-dimensional simplex σ, where n > 0. Then

                       H₀(K) ≅ Z, H_n(K) ≅ Z, H_q(K) = 0 when q ≠0, n.

Proof Let M be the simplicial complex consisting of the (n+1)-dimensional simplex σ, together with all its faces. Then K is a subcomplex of M, and C_q(K) = C_q(M) when q ≤ n.

It follows from Proposition 1.4in(Simplicial Homology Groups) that H₀(M) ≅ Z and H_q(M) = 0 when q > 0. (Here 0 denotes the zero group.) Now Z_q(K) = Z_q(M) when q ≤ n,  and B_q(K) = B_q(M) when q < n. It follows that H_q(K) = H_q(M) when q < n. Thus H₀(K) ≅Z and H_q(K) = 0 when 0 < q < n. Also H_q(K) = 0 when q > n, since the simplicial complex K is of dimension n. Thus, to determine the homology of the complex K, it only remains to find H_n(K).

Let the (n+1)-dimensional simplex σ have vertices v₀, v₁, . . . , v_n+1. Then

                 C_n+1(M) = {n〈v₀, v₁, . . . , v_n+1〉 : n ∈ Z}.

and therefore Bn(M) = {nz : n ∈ Z}, where

                 z = ∂_n+1 (〈v₀, v₁, . . . , v_n+1〉).

Now H_n(M) = 0 . It follows that Z_n(M) = B_n(M). But Z_n(K) = Z_m(M), since C_n(K) = C_n(M) and the definition of the boundary homomorphism on C_n(K) is consistent with the definition of the boundary homomorphism on C_n(M). Also B_n(K) = 0, because the simplicial complex K is of dimension n, and therefore has no non-zero n-boundaries. It follows that

                          H_n(K)≅Z_n(K) = Z_n(M) = B_n(M) ≅ Z.

Indeed H_n(K) = {n[z] : n ∈ Z}, where [z] denotes the homology class of the n-cycle z of K defined above.

Remark Note that the n-cycle z is an n-cycle of the simplicial complex K,  since it is a linear combination, with integer coefficients, of oriented nsimplices of K. The n-cycle z is an n-boundary of the large simplicial complex M. However it is not an n-boundary of K. Indeed the n-dimensional simplicial complex K has no non-zero (n + 1)-chains, therefore has no nonzero n-boundaries. Therefore z represents a non-zero homology class [z] of Hn(K). This homology class generates the homology group Hn(K).

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي يحتفي بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

قسم الشؤون الفكرية يطلق فعاليات الأسبوع الثالث من برنامج البذرة الصالحة

تكريم الفائزين في المسابقة الثقافية الخاصّة بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

بذكرى ولادتهما.. العتبة العباسية المقدسة تستذكر السيرة العطرة للإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle