Let P₁, P₂, P₃, P₄, P₅ and P6 be the vertices of a regular hexagon in the plane, listed in cyclic order, and let K be simplicial complex consisting of the triangles P₁P₂P₃, P₃P₄P₅ and P₅P₆P₁, together with all the edges and vertices of these triangles. Then

It follows that c₁ is a 1-cycle of K if and only if

                              m₂ = m₃, m₄ = m₅, m₆ = m₁

and

                             m₁ + m₇ = m₃ + m₈ = m₅ + m₉.

Moreover c₁ is a 1-boundary of K if and only if

                   m₂ = m₃ = −m₈, m₄ = m₅ = −m₉, m₆ = m₁ = −m₇.

We see from this that not every 1-cycle of K is a 1-boundary of K. Indeed

             Z₁(K) = {n₁∂₂τ₁ + n₂∂₂τ₂ + n₃∂₂τ₃ + n_z : n₁, n₂, n₃, n ∈ Z},

where z = ρ₇ + ρ₈ + ρ₉. Let θ:Z₁(K) → Z be the homomorphism defined such that

                     θ (n₁∂₂τ₁ + n₂∂₂τ₂ + n₃∂₂τ₃ + n_z) = n

for all n₁, n₂, n₃, n ∈ Z. Now

            n₁∂₂τ₁ + n₂∂₂τ₂ + n₃∂₂τ₃ + n_z ∈ B₁(K) if and only if n = 0.

It follows that B₁(K) = ker θ. Therefore the homomorphism θ induces an isomorphism from H₁(K) to Z, where H₁(K) = Z₁(K)/B₁(K). Indeed H₁(K) = {n[z] : n ∈ Z}, where z = ρ₇ + ρ₈ + ρ₉ and [z] denotes the homology class of the 1-cycle z.

It is a straightforward exercise to verify that

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي يحتفي بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

قسم الشؤون الفكرية يطلق فعاليات الأسبوع الثالث من برنامج البذرة الصالحة

تكريم الفائزين في المسابقة الثقافية الخاصّة بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

بذكرى ولادتهما.. العتبة العباسية المقدسة تستذكر السيرة العطرة للإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle