1. x ≤ x,

2. If x ≤ y and y ≤ x then x = y,

3. If x ≤ y and y ≤ z then x ≤ z,

4. x ≤ y or y ≤ x, i.e. any two elements of N are comparable with respect to ≤.

We shall use the first three properties to define our first type of ordering relation:

Definition 1.1. Let R be a relation on A.

1. R is reflexive if 〈x,x〉 ∈ R for all x ∈ A.

2. R is antisymmetric if for all x,y ∈ A, 〈x,y〉 ∈ R and 〈y,x〉 ∈ R implies x = y.

3. R is transitive if for all x,y,z ∈ A, 〈x,y〉 ∈ R and 〈y,z〉 ∈ R implies 〈x,z〉 ∈ R.

4. R is a partial order on A, if R is reflexive, antisymmetric, and transitive.

Sometimes we will call a partial order on A just an order on A, or an ordering of A.

5. R is a linear order on A if R is a partial order, and xRy or yRx for all x,y ∈ A, i.e. if any two elements of A are comparable with respect to R.

If R is an ordering relation on A, then we usually write ≤ (or a similar symbol) for R, i.e. x ≤ y iff xRy. If ≤ is a partial order on A, then we call the pair hA, ≤i a partially ordered set, or just an ordered set. If ≤ furthermore is a linear order, then hA, ≤i is called a linearly ordered set or a chain.

For a finite partially ordered set 〈A, ≤〉 we can draw an order diagram by the following rules: If a ≤ b and a ≠b, then put b above a. b need not be directly

above a, but also may be shifted to one side or the other. If there is no element between a and b, you connect them by a line.

Example .1. 1. Let A = {0, 1,a, b,c}, and define 

by the diagram given in Fig. 1.1

Figure 1.1: The diamond

This diagram represents the following relation on A:

0 ≤ 0, 0 ≤ a, 0 ≤ b, 0 ≤ c, 0 ≤ 1, a ≤ a, a ≤ 1, b ≤ b, b ≤ 1, c ≤ c, c ≤ 1, 1 ≤ 1.

It is not hard to see that this is indeed a partial order on A.

2. Let A = {2, 3, 4, 5, 6}, and define R by the usual ≤ relation on N, i.e. aRb iff a ≤ b. Then R is a linear order on A.

3. Let us define another relation on N by

 (1.1)                    a/b iff a divides b.

To show that / is a partial order we have to show the three defining properties of a partial order relation:

Reflexive: Since every natural number is a divisor of itself, we have a/a for all a ∈ A.

Antisymmetric: If a divides b then we have either a = b or in the

usual ordering of N; similarly, if b divides a, then b = a or b
 a. Since   is not possible, a/b and b/a implies a = b.

Transitive: If a divides b and b divides c then a also divides c.

Thus, / is a partial order on N.

4. Let A = {x,y} and define ≤ on the power set P(A) by s ≤ t iff s is a subset of t

 This gives us the following relation:

∅ ≤ ∅, ∅ ≤ {x}, ∅ ≤ {y}, ∅ ≤ {x,y} = A, {x} ≤ {x}, {x} ≤ {x,y}

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم التطوير يقيم دورة عن أخلاقيات المهنة للمنتسبين الجدد

تتضمن زيارة المراقد المقدسة في كربلاء.. معهد القرآن الكريم النسوي ينظم سفرة دينية لطالباته

المجمع العلمي يحتفي بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

قسم الشؤون الفكرية يطلق فعاليات الأسبوع الثالث من برنامج البذرة الصالحة

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد

مواضيع ذات صلة

Subset

Set Class

Set

Second Category

Proper Subset

Power Set

Matroid

Inductive Set

Independent Vertex Set

Independent Set

Graphoid

G_delta Set