We now show that, if a topological space X is the union of a finite collection of closed sets, and if a function from X to some topological space is continuous on each of these closed sets, then that function is continuous on X.

Lemma 1.1 Let X and Y be topological spaces, let f: X → Y be a function from X to Y , and let X = A₁∪A₂∪· · ·∪A_k, where A₁, A₂, . . . , A_k are closed sets in X. Suppose that the restriction of f to the closed set Ai is continuous for i = 1, 2, . . . , k. Then f: X → Y is continuous.

Proof A function f: X → Y is continuous if and only if f⁻¹ (G) is closed in X for every closed set G in Y (Lemma 1.6). Let G be an closed set in Y . Then f⁻¹ (G) ∩ Aiis relatively closed in Ai for i = 1, 2, . . . , k, since the restriction of f to Ai is continuous for each i. But Ai is closed in X, and therefore a subset of Ai is relatively closed in Ai if and only if it is closed in X. Therefore f⁻¹ (G) ∩ Aiis closed in X for i = 1, 2, . . . , k. Now f⁻¹ (G) isthe union of the sets f⁻¹ (G) ∩ Ai for i = 1, 2, . . . , k. It follows that f⁻¹ (G), being a finite union of closed sets, is itself closed in X. It now follows from Lemma  that f: X → Y is continuous.

Example: Let Y be a topological space, and let α: [0, 1] → Y and β: [0, 1] → Y be continuous functions defined on the interval [0, 1], where α(1) = β(0).

Let γ: [0, 1] → Y be defined by

Now γ|[0, 1/2] = α ◦ ρ where ρ: [0, 1/2] → [0, 1] is the continuous function defined by ρ(t) = 2t for all t ∈ [0, 1/2]. Thus γ|[0, 1/2] is continuous, being a composition of two continuous functions. Similarly γ [1/2, 1] is continuous. The subintervals [0, 1/2 ] and [1/2 , 1] are closed in [0,1], and [0,1] is the union of these two subintervals. It follows from Lemma 1.1 that γ: [0; 1] ! Y is continuous.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم التطوير يقيم دورة عن أخلاقيات المهنة للمنتسبين الجدد

تتضمن زيارة المراقد المقدسة في كربلاء.. معهد القرآن الكريم النسوي ينظم سفرة دينية لطالباته

المجمع العلمي يحتفي بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

قسم الشؤون الفكرية يطلق فعاليات الأسبوع الثالث من برنامج البذرة الصالحة

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle