The Cartesian product X₁ × X₂ × · · · × X_n of sets X₁, X₂, . . . , X_n is defined to be the set of all ordered n-tuples (x₁, x₂, . . . , x_n), where x_i ∈ X_i for i =1, 2, . . . , n.

The sets R² and R³ are the Cartesian products R × R and R × R × R respectively.

Definition: Let X₁, X₂, . . . , X_n be topological spaces. A subset U of the Cartesian product X₁ × X₂ × · · · × X_n is said to be open (with respect to the product topology) if, given any point p of U, there exist open sets V_i in X_i

for i = 1, 2, . . . , n such that {p} ⊂ V₁ × V₂ × · · · × V_n ⊂ U.

Lemma 1.1 Let X₁, X₂, . . . , X_n be topological spaces. Then the collection of open sets in X₁ × X₂ × · · · × X_n is a topology on X₁ × X₂ × · · · × X_n.

Proof Let X = X₁ ×X₂ ×· · ·×X_n. The definition of open sets ensures that the empty set and the whole set X are open in X. We must prove that any union or finite intersection of open sets in X is an open set.

Let E be a union of a collection of open sets in X and let p be a point ofE. Then p ∈ D for some open set D in the collection. It follows from this that there exist open sets V_i in X_i for i = 1, 2, . . . , n such that

                               {p} ⊂ V₁ × V₂ × · · · × V_n ⊂ D ⊂ E.

Thus E is open in X.

be a point of U. Then there exist open sets V_ki in X_i for k = 1, 2, . . . , m and i = 1, 2, . . . , n such that {p} ⊂ V_k1 ×V_k2 × · · · ×V_kn ⊂ U_k for k = 1, 2, . . . , m.

Let V_i = V_1i ∩ V_2i ∩ · · · ∩ V_mi for i = 1, 2, . . . , n. Then

 {p} ⊂ V₁ × V₂ × · · · × V_n ⊂ V_k1 × V_k2 × · · · × V_kn ⊂ U_k

for k = 1, 2, . . . , m, and hence {p} ⊂ V₁ × V₂ × · · · × V_n ⊂ U. It follows that U is open in X, as required.

Let X = X1 ×X2 ×· · ·×Xn, where X1, X2, . . . , Xn are topological spaces

and X is given the product topology, and for each i, let p_i: X → Xi denote the projection function which sends (x₁, x₂, . . . , x_n) ∈ X to x_i. It can be shown that a function f:Z → X mapping a topological space Z into X is continuous if and only if p_i ◦ f:Z → X_i is continuous for i = 1, 2, . . . , n.

One can also prove that usual topology on Rⁿ determined by the Euclidean distance function coincides with the product topology on Rⁿ obtained on regarding Rⁿ as the Cartesian product R x R x…..x R of n copies

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم التطوير يقيم دورة عن أخلاقيات المهنة للمنتسبين الجدد

تتضمن زيارة المراقد المقدسة في كربلاء.. معهد القرآن الكريم النسوي ينظم سفرة دينية لطالباته

المجمع العلمي يحتفي بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

قسم الشؤون الفكرية يطلق فعاليات الأسبوع الثالث من برنامج البذرة الصالحة

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle