The Grassmannian  is the set of -dimensional subspaces in an -dimensional vector space. For example, the set of lines  is projective space. The real Grassmannian (as well as the complex Grassmannian) are examples of manifolds. For example, the subspace  has a neighborhood . A subspace  is in  if  and  and . Then for any , the vectors  and  are uniquely determined by requiring  and . The other six entries provide coordinates for .

In general, the Grassmannian can be given coordinates in a similar way at a point . Let  be the open set of -dimensional subspaces which project onto . First one picks an orthonormal basis  for  such that  span . Using this basis, it is possible to take any  vectors and make a  matrix. Doing this for the basis of , another -dimensional subspace in , gives a -matrix, which is well-defined up to linear combinations of the rows. The final step is to row-reduce so that the first  block is the identity matrix. Then the last  block is uniquely determined by . The entries in this block give coordinates for the open set .

If  is the standard basis of , a basis of  is given by the  vectors , . If  is a basis of a subspace  of dimension  of ,  corresponds to a point  of , whose coordinates are the components of  with respect to the basis of  given above. These coordinates are the so-called Grassmann coordinates of .

A different choice of the basis of  yields a different -tuple of coordinates, which differs from the original -tuple by a nonzero multiplicative constant, hence it corresponds to the same point.

The Grassmannian is also a homogeneous space. A subspace is determined by its basis vectors. The group that permutes basis vectors is . The matrix that fixes  is a diagonal block matrix, with a  nonsingular matrix in the top left, and a  invertible matrix in the lower right.  acts transitively on the Grassmannian . Let  be the stabilizer (or isotropy) of . Then  is the subgroup of  consisting of matrices  such that  for all ,  such that  and .  is isomorphic to .

The tangent space to the Grassmannian is given by  matrices, i.e., linear maps from  to the quotient vector space .

The elements  are the -minors of the  matrix whose th row contains the components of  with respect to the basis . It corresponds to a linear transformation  whose range is . In general, the range of such a linear transformation has dimension  iff the corresponding  matrix has rank .

Let  be the subset of  defined by the condition that all the -minors of the matrix  (which can be viewed as a sequence of  coordinates) be equal to zero, and one -minor be nonzero. The Grassmannian  can be viewed as the image of the map  which maps each matrix of  to the sequence of its -minors.

It as an algebraic projective algebraic variety defined by equations called Plücker's equations. It is a nonsingular variety of dimension .

REFERENCES:

Fulton, W. Schubert Varieties and Degeneracy Loci. New York: Springer-Verlag, 1998.

Harris, J. "Grassmannians and Related Varieties." Lecture 6 in Algebraic Geometry: A First Course. New York: Springer-Verlag, pp. 63-71, 1992.

Kleiman, S. and Laksov, D. "Schubert Calculus." Amer. Math. Monthly 79, 1061-1082, 1972.

Shafarevich, I. R. Basic Algebraic Geometry, Vol. 1, 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag, pp. 42-44, 1994.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي يحتفي بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

قسم الشؤون الفكرية يطلق فعاليات الأسبوع الثالث من برنامج البذرة الصالحة

تكريم الفائزين في المسابقة الثقافية الخاصّة بذكرى ولادة الإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

بذكرى ولادتهما.. العتبة العباسية المقدسة تستذكر السيرة العطرة للإمامين الباقر والهادي (عليهما السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد