Consider  strings, each oriented vertically from a lower to an upper "bar." If this is the least number of strings needed to make a closed braid representation of a link,  is called the braid index. A general -braid is constructed by iteratively applying the  () operator, which switches the lower endpoints of the th and th strings--keeping the upper endpoints fixed--with the th string brought above the th string. If the th string passes below the th string, it is denoted .

The operations  and  on  strings define a group known as the braid group or Artin braid group, denoted .

Topological equivalence for different representations of a braid word  and  is guaranteed by the conditions

{sigma_isigma_j=sigma_jsigma_i for |i-j|>=2; sigma_isigma_(i+1)sigma_i=sigma_(i+1)sigma_isigma_(i+1) for all i " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/BraidGroup/NumberedEquation1.gif" style="height:44px; width:246px" />

(1)

as first proved by E. Artin.

Any -braid can be expressed as a braid word, e.g.,  is a braid word in the braid group . When the opposite ends of the braids are connected by nonintersecting lines, knots (or links) may formed that can be labeled by their corresponding braid word. The Burau representation gives a matrix representation of the braid groups.

REFERENCES:

Adams, C. C. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. New York: W. H. Freeman, pp. 132-133, 1994.

Birman, J. S. "Braids, Links, and the Mapping Class Groups." Ann. Math. Studies, No. 82. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1976.

Birman, J. S. "Recent Developments in Braid and Link Theory." Math. Intell. 13, 52-60, 1991.

Christy, J. "Braids." http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/813/.

Jones, V. F. R. "Hecke Algebra Representations of Braid Groups and Link Polynomials." Ann. Math. 126, 335-388, 1987.

Murasugi, K. and Kurpita, B. I. A Study of Braids. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1999.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يشرع بإدامة شباكين قديمين لمرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام)

فرقة العباس (عليه السلام) تختتم خدماتها المقدمة للزائرين في سامراء

موكب العتبتين المقدستين يحيي ذكرى استشهاد الإمام الهادي (عليه السلام) في سامراء

العتبة العسكرية المقدسة تكرّم وفد العتبة العباسية المقدسة لمشاركته في تقديم الخدمات للزائرين

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد