1

x

هدف البحث

بحث في العناوين

بحث في اسماء الكتب

بحث في اسماء المؤلفين

اختر القسم

القرآن الكريم
الفقه واصوله
العقائد الاسلامية
سيرة الرسول وآله
علم الرجال والحديث
الأخلاق والأدعية
اللغة العربية وعلومها
الأدب العربي
الأسرة والمجتمع
التاريخ
الجغرافية
الادارة والاقتصاد
القانون
الزراعة
علم الفيزياء
علم الكيمياء
علم الأحياء
الرياضيات
الهندسة المدنية
الأعلام
اللغة الأنكليزية

موافق

تاريخ الرياضيات

الاعداد و نظريتها

تاريخ التحليل

تار يخ الجبر

الهندسة و التبلوجي

الرياضيات في الحضارات المختلفة

العربية

اليونانية

البابلية

الصينية

المايا

المصرية

الهندية

الرياضيات المتقطعة

المنطق

اسس الرياضيات

فلسفة الرياضيات

مواضيع عامة في المنطق

الجبر

الجبر الخطي

الجبر المجرد

الجبر البولياني

مواضيع عامة في الجبر

الضبابية

نظرية المجموعات

نظرية الزمر

نظرية الحلقات والحقول

نظرية الاعداد

نظرية الفئات

حساب المتجهات

المتتاليات-المتسلسلات

المصفوفات و نظريتها

المثلثات

الهندسة

الهندسة المستوية

الهندسة غير المستوية

مواضيع عامة في الهندسة

التفاضل و التكامل

المعادلات التفاضلية و التكاملية

معادلات تفاضلية

معادلات تكاملية

مواضيع عامة في المعادلات

التحليل

التحليل العددي

التحليل العقدي

التحليل الدالي

مواضيع عامة في التحليل

التحليل الحقيقي

التبلوجيا

نظرية الالعاب

الاحتمالات و الاحصاء

نظرية التحكم

بحوث العمليات

نظرية الكم

الشفرات

الرياضيات التطبيقية

نظريات ومبرهنات

علماء الرياضيات

500AD

500-1499

1000to1499

1500to1599

1600to1649

1650to1699

1700to1749

1750to1779

1780to1799

1800to1819

1820to1829

1830to1839

1840to1849

1850to1859

1860to1864

1865to1869

1870to1874

1875to1879

1880to1884

1885to1889

1890to1894

1895to1899

1900to1904

1905to1909

1910to1914

1915to1919

1920to1924

1925to1929

1930to1939

1940to the present

علماء الرياضيات

الرياضيات في العلوم الاخرى

بحوث و اطاريح جامعية

هل تعلم

طرائق التدريس

الرياضيات العامة

نظرية البيان

الرياضيات : الاحتمالات و الاحصاء :

iscrete Uniform Distribution

المؤلف:  Sloane, N. J. A.

المصدر:  Sequences A086111 and A086112 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

الجزء والصفحة:  ...

17-4-2021

1377

iscrete Uniform Distribution

The discrete uniform distribution is also known as the "equally likely outcomes" distribution. Letting a set S have N elements, each of them having the same probability, then

P(S) = P( union _(i=1)^NE_i)

(1)

= sum_(i=1)^(N)P(E_i)

(2)

= P(E_i)sum_(i=1)^(N)1

(3)

= NP(E_i),

(4)

so using P(S)=1 gives

 P(E_i)=1/N.

(5)

Restricting the set S to the set of positive integers 1, 2, ..., N, the probability distribution function and cumulative distributions function for this discrete uniform distribution are therefore

P(n) = 1/N

(6)

D(n) = n/N

(7)

for n=1, ..., N.

The discrete uniform distribution is implemented in the Wolfram Language as DiscreteUniformDistribution[n].

Its moment-generating function is

M(t) = <e^(nt)>

(8)

= sum_(n=1)^(N)1/Ne^(nt)

(9)

= 1/N(e^t-e^(t(N+1)))/(1-e^t)

(10)

= (e^t(1-e^(Nt)))/(N(1-e^t)).

(11)

The moments about 0 are

(12)

so

= 1/2(N+1)

(13)

= 1/6(N+1)(2N+1)

(14)

= 1/4N(N+1)^2

(15)

= 1/(30)(N+1)(2N+1)(3N^2+3N-1),

(16)

and the moments about the mean are

mu_2 = 1/(12)(N-1)(N+1)

(17)

mu_3 = 0

(18)

mu_4 = 1/(240)(N-1)(N+1)(3N^2-7).

(19)

The mean, variance, skewness, and kurtosis excess are

mu = 1/2(N+1)

(20)

sigma^2 = 1/(12)(N-1)(N+1)

(21)

gamma_1 = 0

(22)

gamma_2 = -(6(N^2+1))/(5(N-1)(N+1)).

(23)

UniformDistributionMeanDeviation

The mean deviation for a uniform distribution on N elements is given by

 MD=1/Nsum_(k=1)|k-1/2(N+1)|.

(24)

To do the sum, consider separately the cases of N odd and N even. For N=2m-1 odd,

MD = 1/Nsum_(k=1)^(N)|k-m|

(25)

= 1/N[sum_(k=1)^(m-1)m-k+sum_(k=m+1)^(N)k-m]

(26)

= (2m^2-2m(N+1)+N^2+N)/(2N)

(27)

= (N^2-1)/(4N).

(28)

Similarly, for N=2m even,

MD = 1/Nsum_(k=1)^(N)|k-(m+1/2)|

(29)

= 1/N[sum_(k=1)^(m)(m+1/2)-k+sum_(k=m+1)^(N)k-(m+1/2)]

(30)

= N/2+(m^2)/N-m

(31)

= 1/4N.

(32)

The complete solution is therefore

 MD={(N^2-1)/(4N)   for N odd; 1/4N   for N even.

(33)

For N=1, 2, ..., the first few values are 0, 1/2, 2/3, 1, 6/5, 3/2, 12/7, ... (OEIS A086111 and A086112).


REFERENCES:

Sloane, N. J. A. Sequences A086111 and A086112 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."