Given a sequence of values {a_k}_(k=1)^n" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/High-WaterMark/Inline1.gif" style="height:17px; width:42px" />, the high-water marks are the values at which the running maximum increases. For example, given a sequence  with running maxima , the high-water marks are , which occur at , 2, 3, 4, and 8.

For independent random variables, the expected number of high-water marks after  measurements is . This can be seen by noting that the first measurement must by definition be a record (so it contributes 1), the second measurement is equally likely to be higher or lower than the first (so it contributes 1/2), two of the  possible orderings of measurements have the third as a record (so it contributes ), and so on (Havil 2003, pp. 125-126). A comparison of the number of records set in  random trials of  measurements with  for  to 100 is plotted above.

The number of records after  measurements is therefore , which for , 2, ... is given by 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ... (OEIS A055980). The number of measurements needed to obtain  records is therefore , where  are the values such that

giving for , 2, 3, ... the values 1, 4, 11, 31, 83, 227, 616, 1674, 4550, 12367, ... (OEIS A004080), and for , 10, 100, ... records are therefore 1, 12367, 15092688622113788323693563264538101449859497, ... (OEIS A096618).

REFERENCES:

Havil, J. "Setting Records." §13.4 in Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 125-126, 2003.

Sloane, N. J. A. Sequences A004080, A055980, and A096618 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يشرع بإدامة شباكين قديمين لمرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام)

فرقة العباس (عليه السلام) تختتم خدماتها المقدمة للزائرين في سامراء

موكب العتبتين المقدستين يحيي ذكرى استشهاد الإمام الهادي (عليه السلام) في سامراء

العتبة العسكرية المقدسة تكرّم وفد العتبة العباسية المقدسة لمشاركته في تقديم الخدمات للزائرين

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد