انكسار الضوء خلال المنشور الثلاثي

المنشور الثلاثي هو جزء من وسط شفاف متجانس محدود بسطحين غير متوازيين. فإذا فرضنا أن ABC يمثل المقطع الأساسي لمنشور ثلاثي من الزجاج  زاوية رأسه A و أن شعاعا ضوئيا  DE  يسقط على الوجه AC  فانه ينكسر داخل المنشور مقتربا من العمود ( في الاتجاه EF) ثم يخرج من الوجه AB في الاتجاه FG كما بالشكل.

من هذا الشكل يتضح أن الشعاع  DE  يعانى انحراف كل من النقطتين E و F و أن الانحراف الكلي في اتجاه DE يقدر بقيمة الزاوية بين امتداد الشعاعين DE و GF.

فإذا كانت الزوايا  θ  و  φ و φ₁ وθ₁  تمثل زوايا السقوط و الانكسار عند النقطتين  E و F فان:

   (1)

 (2)

و زاوية الانحراف α  تعطى من

 (3)

في الشكل الرباعي  AELF  نجد أن

(4)

من المثلث  FEL  نجد أن

بالتعويض من المعادلة (4) في المعادلة السابقة نحصل على:

 (5)

 من المعادلتين (3) و (5) نجد أن:

  (6)          

و حيث أن A زاوية رأس المنشور تكون ثابتة لا تتغير إلا بتغير المنشور، فان زاوية الانحراف α  تتوقف على زاويتي السقوط و الخروج..

 النهاية الصغرى لزاوية الانحراف:-

ذكرنا في المعادلة السابقة أن زاوية الانحراف تتغير تبعا لتغير زاويتي السقوط و الخروج، فإذا رسمت العلاقة بين زاوية الانحراف وزاوية السقوط فسوف يكون لها سلوك كالمماثل بالشكل

و نلاحظ أنه كلما ذادت زاوية السقوط قلت زاوية الانحراف حتى تصل إلى أقل قيمة لها ثم تأخذ بعدها في الزيادة مرة أخرى، و معنى هذا أن هناك قيمة لزاوية السقوط تكون عندها زاوية الانحراف اقل ما يمكن و تسمى النهاية الصغرى لزاوية الانحراف ورياضيا يعنى هذا أن:

بتفاضل المعادلة  (6)  بالنسبة ل θ

 (7)

و عند وضع النهاية الصغرى للانحراف يكون

(8)

و بتفاضل المعادلة (5) نحصل على

 (9)

فإذا كان  μ  معامل انكسار مادة المنشور فان

 (*)

 (10)

بالمثل يمكننا الحصول على

 (11)

بالتعويض من  (10)  في  (9)

 (12)

و حيث أن

 (13)

بالتعويض من  (11)  و (12) في (13) نحصل على

 (14)

بالتعويض من (8)   في (14) 

 (15)

و من قوانين حساب المثلثات يمكننا كتابة هذه المعادلة على الصورة الآتية

 (16)

و بالتعويض من المعادلة (*)   في المعادلة السابقة نحصل على

 (17)

و هذه المعادلة تأخذ الشكل الاتي

 (18)

و حيث أن 1 ≠ μ ،فان

 (19)

و بالمثل يمكننا استنتاج أن

 (20)

أي أنه عند وضع النهاية الصغرى للانحراف زاوية السقوط = زاوية الخروج.

و بالتالي زاوية راس المنشور تأخذ الشكل:

 (21)

و المعادلة  الاتية:

تأخذ الشكل:

و المعادلة   (*)  يمكن أن تكتب على الصورة:

 (22)

أما إذا كانت زاوية رأس المنشور صغيرة و كانت الأشعة الساقطة على سطح المنشور عمودية تقريبا فان زوايا الانكسار و الانحراف تكون صغيرة كذلك، و من ثم تأخذ المعادلة السابقة الشكل الآتي

 (23)