Let  be a real symmetric matrix of large order  having random elements  that for  are independently distributed with equal densities, equal second moments , and th moments bounded by constants  independent of , , and . Further, let  be the number of eigenvalues of  that lie in the interval  for real . Then

(Wigner 1955, 1958). This law was first observed by Wigner (1955) for certain special classes of random matrices arising in quantum mechanical investigations.

The distribution of eigenvalues of a symmetric random matrix with entries chosen from a standard normal distribution is illustrated above for a random  matrix.

Note that a large real symmetric matrix with random entries taken from a uniform distribution also obeys the semicircle law with the exception that it also possesses exactly one large eigenvalue.

REFERENCES:

Arnold, L. "On Wigner's Semicircle Law for the Eigenvalues of Random Matrices." Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 19, 191-198, 1971.

Bai, Z. D. and Yin, Y. Q. "Convergence to the Semicircle Law." Ann. Probab. 16, 863-875, 1988.

Götze, F. and Tikhomirov, A. "Rate of Convergence to the Semi-Circular Law." Probab. Theory Related Fields 127, 228-276, 2003.

Kiessling, M. K.-H. and Spohn, H. "A Note on the Eigenvalue Density of Random Matrices." Comm. Math. Phys. 199, 683-695, 1999.

Ryan, Ø. "On the Limit Distributions of Random Matrices with Independent or Free Entries." Comm. Math. Phys. 193, 595-626, 1998.

Voiculescu, D. "Limit Laws for Random Matrices and Free Products." Invent. Math. 104, 201-220, 1991.

Wigner, E. "Characteristic Vectors of Bordered Matrices with Infinite Dimensions." Ann. of Math. 62, 548-564, 1955.

Wigner, E. "On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices." Ann. of Math. 67, 325-328, 1958.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

خمسون عامًا من العطاء.. نجم الأعرجي خادم الزائرين بلا انقطاع

العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة مجالسها العزائية لإحياء شهر المحرم

العتبة العباسية المقدسة تطلق سلسلة محاضرات قرآنية عاشورائية في بابل

في مساء اليوم الخامس من المحرّم.. المواكب الكربلائيّة تواصل فعالياتها العزائية

المزيد

الآخبار الصحية

لهذا السبب.. إغلاق 25 مركزًا لعلاج الإدمان في مصر ؟

خلافا للاعتقاد الشائع.. علماء يكشفون أسرار بذور البطيخ ؟!

هذا ما يحدث لجسمك عند تناولك الطماطم بانتظام !

تعرف على أطعمة تسرّع "تعافي الجسم" من حروق الشمس

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الثلوج تغطي الصحراء الأكثر جفافا في العالم!

بتلسكوب "ألما".. التقاط صورا غير مسبوقة لبدايات الكون !

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

المزيد