Let  be a real symmetric matrix of large order  having random elements  that for  are independently distributed with equal densities, equal second moments , and th moments bounded by constants  independent of , , and . Further, let  be the number of eigenvalues of  that lie in the interval  for real . Then

(Wigner 1955, 1958). This law was first observed by Wigner (1955) for certain special classes of random matrices arising in quantum mechanical investigations.

The distribution of eigenvalues of a symmetric random matrix with entries chosen from a standard normal distribution is illustrated above for a random  matrix.

Note that a large real symmetric matrix with random entries taken from a uniform distribution also obeys the semicircle law with the exception that it also possesses exactly one large eigenvalue.

REFERENCES:

Arnold, L. "On Wigner's Semicircle Law for the Eigenvalues of Random Matrices." Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 19, 191-198, 1971.

Bai, Z. D. and Yin, Y. Q. "Convergence to the Semicircle Law." Ann. Probab. 16, 863-875, 1988.

Götze, F. and Tikhomirov, A. "Rate of Convergence to the Semi-Circular Law." Probab. Theory Related Fields 127, 228-276, 2003.

Kiessling, M. K.-H. and Spohn, H. "A Note on the Eigenvalue Density of Random Matrices." Comm. Math. Phys. 199, 683-695, 1999.

Ryan, Ø. "On the Limit Distributions of Random Matrices with Independent or Free Entries." Comm. Math. Phys. 193, 595-626, 1998.

Voiculescu, D. "Limit Laws for Random Matrices and Free Products." Invent. Math. 104, 201-220, 1991.

Wigner, E. "Characteristic Vectors of Bordered Matrices with Infinite Dimensions." Ann. of Math. 62, 548-564, 1955.

Wigner, E. "On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices." Ann. of Math. 67, 325-328, 1958.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

عضو مجلس إدارة العتبة العباسية المقدسة يطلع على آليات تطوير البرامج التعليمية في مجموعة العميد

مجموعة مناحل الكفيل تختتم مشاركتها في معرض السليمانية الدولي للزراعة والصناعات الغذائية

لتوثيق التراث العلمي.. وفد قسم شؤون المعارف يلتقي عددًا من أعلام مدينة النجف

قسم الشؤون الفكرية ومؤسسة الشهداء يبحثان سبل تعزيز التعاون في برامج الذاكرة الوطنية

المزيد

الآخبار الصحية

طبيب يكشف تأثير برودة الشتاء على النوم

دون أن تعلم.. 10 عادات يومية تسرع شيخوخة جسمك

تقرير: النيكوتين خطر على القلب مهما كانت الطريقة

أيهما أفضل لصحتك.. زبدة الفول السوداني أم النوتيلا؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

السعودية تدشن أكبر نظام لتخزين الكهرباء بالبطاريات في العالم !

بأمر تنفيذي.. ترامب يؤكد هدف عودة الأميركيين إلى القمر في عام 2028

بعيدا عن البشر.. "قتال جوي في الفضاء" بين أميركا والصين

كشف مذهل في قاع "برمودا" !

المزيد