There are two different definitions of generalized Fermat numbers, one of which is more general than the other. Ribenboim (1996, pp. 89 and 359-360) defines a generalized Fermat number as a number of the form  with , while Riesel (1994) further generalizes, defining it to be a number of the form . Both definitions generalize the usual Fermat numbers . The following table gives the first few generalized Fermat numbers for various bases .

	OEIS	generalized Fermat numbers in base
2	A000215	3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, ...
3	A059919	4, 10, 82, 6562, 43046722, ...
4	A000215	5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, ...
5	A078303	6, 26, 626, 390626, 152587890626, ...
6	A078304	7, 37, 1297, 1679617, 2821109907457, ...

Generalized Fermat numbers can be prime only for even . More specifically, an odd prime  is a generalized Fermat prime iff there exists an integer  with  and  (Broadhurst 2006).

Many of the largest known prime numbers are generalized Fermat numbers. Dubner found  ( digits) and  ( digits) in September 1992 (Ribenboim 1996, p. 360). The largest known as of January 2009 is  (https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=84401), which has  decimal digits.

The following table gives the first few generalized Fermat primes for various even bases .

	prime
2	5, 17, 257, 65537, ...
4	17, 257, 65537, ...
6	37, 1297, ...

REFERENCES:

Broadhurst, D. "GFN Conjecture." Post to primeform user forum. Apr. 1, 2006. https://groups.yahoo.com/group/primeform/message/7187.

Caldwell, C. "The Largest Known Primes." https://primes.utm.edu/primes/lists/all.txt.

Dubner, H. "Generalized Fermat Primes." J. Recr. Math. 18, 279-280, 1985.

Dubner, H. and Keller, W. "Factors of Generalized Fermat Numbers." Math. Comput. 64, 397-405, 1995.

Morimoto, M. "On Prime Numbers of Fermat Type." Sugaku 38, 350-354, 1986.

Ribenboim, P. The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag, 1996.

Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 102-103 and 415-428, 1994.

Sloane, N. J. A. Sequences A000215/M2503, A059919, A078303, and A078304 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

أساتذة المجمَع العلمي يشرفون على تحكيم المسابقة القرآنية في جامعة النهرين

قسم الشؤون الدينية ينشر صناديق مخصصة لزكاة الفطرة داخل مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام) وخارجه

شعبة التوجيه الديني النسوي تختتم مجالسها العبادية لإحياء ليالي القدر المباركة

قسم الشؤون الفكرية ينظم ندوة توعوية ثقافية في محافظة ذي قار

المزيد

الآخبار الصحية

تأثير اللياقة البدنية على الدماغ

تجربة سريرية تظهر فوائد اللوز للمصابين بالسمنة

اكتشاف طريقة غير متوقعة لتقليل خطر الإصابة بالسكري

خمسة مؤشرات صحية مهملة قد تنقذ حياتك

المزيد

الآخبار التكنلوجية

علماء الجيولوجيا يفكون لغز الصدع العملاق تحت الماء في المحيط الأطلسي

تحذير جديد: الاحترار العالمي يتسارع وقد نكسر حاجز 1.5 درجة قبل 2030

الصين تكشف عن ألياف كربون تفوق قوة الفولاذ بـ10 مرات

الجهاز المناعي يظهر دورا غير متوقع في صحة العظام

المزيد