A real polynomial  is said to be stable if all its roots lie in the left half-plane. The term "stable" is used to describe such a polynomial because, in the theory of linear servomechanisms, a system exhibits unforced time-dependent motion of the form , where  is the root of a certain real polynomial . A system is therefore mechanically stable iff  is a stable polynomial.

The polynomial  is stable iff , and the irreducible polynomial  is stable iff both  and  are greater than zero. The Routh-Hurwitz theorem can be used to determine if a polynomial is stable.

Given two real polynomials  and , if  and  are stable, then so is their product , and vice versa (Séroul 2000, p. 280). It therefore follows that the coefficients of stable real polynomials are either all positive or all negative (although this is not a sufficient condition, as shown with the counterexample ). Furthermore, the values of a stable polynomial are never zero for  and have the same sign as the coefficients of the polynomial.

It is possible to decide if a polynomial is stable without first knowing its roots using the following theorem due to Strelitz (1977). Let  be a real polynomial with roots , ..., , and construct  as the monic real polynomial of degree  having roots  for . Then  is stable iff all coefficients of  and  are positive (Séroul 2000, p. 281).

For example, given the third-order polynomial , the sum-of-roots polynomial  is given by

(1)

Resolving the inequalities given by requiring that each coefficient of  and  be greater than zero then gives the conditions for  to be stable as , , .

Similarly, for the fourth-order polynomial , the sum-of-roots-polynomial is

(2)

so the condition for  to be stable can be resolved to , , , .

The fifth-order polynomial is

(3)

The following Wolfram Language code computes the sum-of-roots polynomial  and inequalities obtained from the coefficients:

  RootSumPolynomial[r_List, x_]:=Module[
      {n = Length[r], i, j},
      RootReduce@Collect[Expand[
        Times@@((x - #)&/@Flatten[
          Table[r[[i]] + r[[j]], {i, n},
            {j, i+1, n}]])
      ], x]
  ]
  RootSumPolynomial[p_?PolynomialQ, x_]:=
    RootSumPolynomial[RootList[p, x], x]
  RootList[p_?PolynomialQ, x_]:=
    x /. {ToRules[Roots[p==0, x,
      Cubics -> False, Quartics -> False
    ]]}
  RootSumInequalities[p_?PolynomialQ, x_]:=
    And @@ (# > 0& /@
      Flatten[CoefficientList[#, x]& /@
        {RootSumPolynomial[p, x], p}])

while the following reduces the inequalities to a minimal set in the cubic case:

  Resolve[Exists[x, Element[(a | b | c | x), Reals],
    RootSumInequalities[x^3 + a x^2 + b x + c, x]
  ], {a, b, c}]

REFERENCES:

Séroul, R. "Stable Polynomials." §10.13 in Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag, pp. 280-286, 2000.

Strelitz, S. "On the Routh-Hurwitz Problem." Amer. Math. Monthly 84, 542-544, 1977.

Tóth, J.; Szili, L.; and Zachár, A. "Stability of Polynomials." Mathematica Educ. Res. 7, 5-12, 1998.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الإعلام يشارك في الاجتماع التحضيري لمناقشة الخطة الإعلامية لزيارة عاشوراء

بحضور متوليها الشرعي.. العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة المجالس الحسينية لإحياء شهر المحرم

قسم الشؤون الفكرية يطلق برنامجه التبليغي في أكثر من 20 دولة إفريقية

شعبتا الخطابة النسوية والتوجيه الديني تواصلان إقامة المجالس الحسينية في مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

دراسة تحذر.. اضطراب نوم بسيط قد يسبب الموت المبكر ؟

الاستحمام بالماء الساخن.. راحة مؤقتة وأضرار دائمة للبشرة

ماذا يحدث للجسم عند تخطي وجبة الإفطار؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

السد الصيني العملاق يعيق دوران الأرض ويغيّر شكلها ؟

السعودية تطلق 10 تجارب علمية إلى محطة الفضاء الدولية

المزيد