A real polynomial  is said to be stable if all its roots lie in the left half-plane. The term "stable" is used to describe such a polynomial because, in the theory of linear servomechanisms, a system exhibits unforced time-dependent motion of the form , where  is the root of a certain real polynomial . A system is therefore mechanically stable iff  is a stable polynomial.

The polynomial  is stable iff , and the irreducible polynomial  is stable iff both  and  are greater than zero. The Routh-Hurwitz theorem can be used to determine if a polynomial is stable.

Given two real polynomials  and , if  and  are stable, then so is their product , and vice versa (Séroul 2000, p. 280). It therefore follows that the coefficients of stable real polynomials are either all positive or all negative (although this is not a sufficient condition, as shown with the counterexample ). Furthermore, the values of a stable polynomial are never zero for  and have the same sign as the coefficients of the polynomial.

It is possible to decide if a polynomial is stable without first knowing its roots using the following theorem due to Strelitz (1977). Let  be a real polynomial with roots , ..., , and construct  as the monic real polynomial of degree  having roots  for . Then  is stable iff all coefficients of  and  are positive (Séroul 2000, p. 281).

For example, given the third-order polynomial , the sum-of-roots polynomial  is given by

(1)

Resolving the inequalities given by requiring that each coefficient of  and  be greater than zero then gives the conditions for  to be stable as , , .

Similarly, for the fourth-order polynomial , the sum-of-roots-polynomial is

(2)

so the condition for  to be stable can be resolved to , , , .

The fifth-order polynomial is

(3)

The following Wolfram Language code computes the sum-of-roots polynomial  and inequalities obtained from the coefficients:

  RootSumPolynomial[r_List, x_]:=Module[
      {n = Length[r], i, j},
      RootReduce@Collect[Expand[
        Times@@((x - #)&/@Flatten[
          Table[r[[i]] + r[[j]], {i, n},
            {j, i+1, n}]])
      ], x]
  ]
  RootSumPolynomial[p_?PolynomialQ, x_]:=
    RootSumPolynomial[RootList[p, x], x]
  RootList[p_?PolynomialQ, x_]:=
    x /. {ToRules[Roots[p==0, x,
      Cubics -> False, Quartics -> False
    ]]}
  RootSumInequalities[p_?PolynomialQ, x_]:=
    And @@ (# > 0& /@
      Flatten[CoefficientList[#, x]& /@
        {RootSumPolynomial[p, x], p}])

while the following reduces the inequalities to a minimal set in the cubic case:

  Resolve[Exists[x, Element[(a | b | c | x), Reals],
    RootSumInequalities[x^3 + a x^2 + b x + c, x]
  ], {a, b, c}]

REFERENCES:

Séroul, R. "Stable Polynomials." §10.13 in Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag, pp. 280-286, 2000.

Strelitz, S. "On the Routh-Hurwitz Problem." Amer. Math. Monthly 84, 542-544, 1977.

Tóth, J.; Szili, L.; and Zachár, A. "Stability of Polynomials." Mathematica Educ. Res. 7, 5-12, 1998.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مؤتمر السيد المجاهد يشهد عرض فيلم وثائقي عن سيرته العلمية ومشروع إحياء تراثه

بحث حوزوي يتناول التمييز بين المعجزة والسحر عند السيد المجاهد

بحث يناقش أثر القواعد العقلية في استنباط الأحكام الشرعية عند السيد محمد المجاهد

بحث علمي يناقش ردود السيد المجاهد على اللغويين والنحويين في كتابه (مفاتيح الأصول)

المزيد

الآخبار الصحية

هل توقيت نشاطك اليومي يؤثر على صحة دماغك؟.. العلماء يجيبون

"مشروب محبوب" يخفي فوائد لا يعرفها كثيرون

طبيب يكشف 5 أنواع للسعال.. بعضها خطير

نقص فيتامينات "خفي".. قد يفسّر التعب والتنميل وقلة التركيز

المزيد

الآخبار التكنلوجية

دراسة: تغيّرات في أسلوب القيادة قد تكشف مبكرا عن الخرف !

عمرها 773 ألف سنة.. اكتشاف أقدم أحافير بشرية في المغرب

"اختراق علمي".. اختبار دم في منزلك قد يكشف ألزهايمر

ماذا يحدث للجسم عند قطع الكافيين فجأة؟

المزيد