المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر


Lane-Emden Differential Equation  
  
1622   03:12 مساءً   date: 22-6-2018
Author : Chandrasekhar, S
Book or Source : An Introduction to the Study of Stellar Structure. New York: Dover
Page and Part : ...


Read More
Date: 26-12-2018 586
Date: 23-12-2018 1007
Date: 5-7-2018 608

Lane-Emden Differential Equation

LaneEmden

A second-order ordinary differential equation arising in the study of stellar interiors, also called the polytropic differential equations. It is given by

 1/(xi^2)d/(dxi)(xi^2(dtheta)/(dxi))+theta^n=0

(1)

 1/(xi^2)(2xi(dtheta)/(dxi)+xi^2(d^2theta)/(dxi^2))+theta^n=(d^2theta)/(dxi^2)+2/xi(dtheta)/(dxi)+theta^n=0

(2)

(Zwillinger 1997, pp. 124 and 126). It has the boundary conditions

theta(0) = 1

(3)

[(dtheta)/(dxi)]_(xi=0) = 0.

(4)

Solutions theta(xi) for n=0, 1, 2, 3, and 4 are shown above. The cases n=0, 1, and 5 can be solved analytically (Chandrasekhar 1967, p. 91); the others must be obtained numerically.

For n=0 (gamma=infty), the Lane-Emden differential equation is

 1/(xi^2)d/(dxi)(xi^2(dtheta)/(dxi))+1=0

(5)

(Chandrasekhar 1967, pp. 91-92). Directly solving gives

 d/(dxi)(xi^2(dtheta)/(dxi))=-xi^2

(6)

 intd(xi^2(dtheta)/(dxi))=-intxi^2dxi

(7)

 xi^2(dtheta)/(dxi)=c_1-1/3xi^3

(8)

 (dtheta)/(dxi)=(c_1-1/3xi^3)/(xi^2)

(9)

 theta(xi)=intdtheta=int(c_1-1/3xi^3)/(xi^2)dxi

(10)

 theta(xi)=theta_0-c_1xi^(-1)-1/6xi^2.

(11)

The boundary condition theta(0)=1 then gives theta_0=1 and c_1=0, so

 theta_1(xi)=1-1/6xi^2,

(12)

and theta_1(xi) is parabolic.

For n=1 (gamma=2), the differential equation becomes

 1/(xi^2)d/(dxi)(xi^2(dtheta)/(dxi))+theta=0

(13)

 d/(dxi)(xi^2(dtheta)/(dxi))+thetaxi^2=0,

(14)

which is the spherical Bessel differential equation

 d/(dr)(r^2(dR)/(dr))+[k^2r^2-n(n+1)]R=0

(15)

with k=1 and n=0, so the solution is

 theta(xi)=Aj_0(xi)+Bn_0(xi).

(16)

Applying the boundary condition theta(0)=1 gives

 theta_2(xi)=j_0(xi)=(sinxi)/xi,

(17)

where j_0(x) is a spherical Bessel function of the first kind (Chandrasekhar 1967, p. 92).

For n=5, make Emden's transformation

theta = Ax^omegaz

(18)

omega = 2/(n-1),

(19)

which reduces the Lane-Emden equation to

 (d^2z)/(dt^2)+(2omega-1)(dz)/(dt)+omega(omega-1)z+A^(n-1)z^n=0

(20)

(Chandrasekhar 1967, p. 90). After further manipulation (not reproduced here), the equation becomes

 (d^2z)/(dt^2)=1/4z(1-z^4)

(21)

and then, finally,

 theta_5(xi)=(1+1/3xi^2)^(-1/2).

(22)

 


REFERENCES:

Chandrasekhar, S. An Introduction to the Study of Stellar Structure. New York: Dover, pp. 84-182, 1967.

Iyanaga, S. and Kawada, Y. (Eds.). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. Cambridge, MA: MIT Press, p. 908, 1980.

Seshadri, R. and Na, T. Y. Group Invariance in Engineering Boundary Value Problems. New York: Springer-Verlag, p. 193, 1985.

Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, pp. 124 and 126, 1997.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.