تطبيقات اقتصادية على النهايات العظمى والصغرى (الأمثلية للدوال الاقتصادية)
سوف نركز اهتمامنا في هذا الجزء على الوضع الأمثل للمنشأة الاقتصادية، حيث تسعى المنشأة إلى الوصول إلى ذلك الوضع الأمثل، ومن أهم المعايير المعروفة في علم الاقتصاد للوصول إلى الوضع الأمثل هو هدف التعظيم، سواء تعظيم الربح أو تعظيم المنفعة أو تعظيم الإيراد أو تعظيم إنتاجية العامل وأحياناً يكون الوضع الأمثل يتطلب الوصول إلى تخفيض التكلفة، فيكون الهدف تخفيض التكاليف الكلية أو المتوسطة.
النهايات العظمى والصغرى للدوال في متغير واحد (الأمثلية للدوال الاقتصادية ذات المتغير الواحد)
تظهر أهمية دراسة الأمثلية للدوال الاقتصادية ذات المتغير الواحد من خلال التحليل الساكن المقارن، حيث أن هذا التحليل يقوم على أساس مقارنة الدالة قبل وبعد التغير ومن الدوال التي تنطبق عليها هذه الحالة دالة الإيراد الكلي، دالة التكلفة الكلية، دالة التكلفة المتوسطة، دالة الربح، دالة الإنتاج، دالة الإنتاجية المتوسطة للعامل، وتعتمد الأمثلية للدوال الاقتصادية (النهايات العظمى والصغرى) على دراسة سلوك المشتقات الأولى والثانية ومن ثم شروط النهايات العظمى والصغرى.
وفيما يلي توضح شروط النهايات العظمى والصغرى للدوال ذات المتغير الواحد. إذا كانت الدالة f (x)= y وكان للدالة قيمة عند النقطة x=x1 نهاية عظمى أو صغرى فإن:
* الشروط اللازم، إن المشتقة الأولى تساوي صفر:
الشرط الكافي:
- يكون للدالة نهاية عظمى عند النقطة x = x1، إذا كانت المشتقة الثانية سالبة (أقل من الصفر)
- يكون للدالة نهاية صغرى عند النقطة x = x1، إذا كانت المشتقة الثانية موجبة (أكبر من الصفر)
- أما إذا كانت المشتقة الثانية تساوي صفر فإنه يكون للدالة نقطة انقلاب أو نقطة انعطاف (تساوي صفر)
نتناول فيما يلي بعض التطبيقات الاقتصادية على النهايات العظمى والصغرى للدوال والتي تتمثل فيما يلي:
- دالة الإيراد الكلي.
- دالة التكلفة الكلية.
- دالة الربح.
- دالة التكلفة المتوسطة.
- دالة الإنتاج.
- دالة الإنتاجية المتوسطة.
مثال: إذا كانت دالة الإيراد الكلي (TR) على الصورة
حيث أن: Q تمثل حجم الإنتاج
TR = - 50Q2 + 500 Q
المطلوب: أوجد حجم الإنتاج الذي يجعل الإيراد الكلي أكبر ما يمكن.
عند هذا الحجم من الإنتاج أوجد قيمة الإيراد الكلي.
الحل:
ـ دالة الإيراد الكلي TR
TR = - 50Q2 + 500 Q
1 - إيجاد المشتقة الأولى لدالة الإيراد الكلي:
2 - مساواة المشتقة الأولى بالصفر وذلك لإيجاد قيمة Q
Q+ 500 = 0100 –
= -500 100Q-
- بالتعويض في دالة الإيراد الكلي عن قيمة Q=5 وذلك لإيجاد قيمة الإيراد الكلي.
TR = - 50Q2 + 500 Q
TR=-50(5)2+500(5) = 1250
مثال: إذا كانت دالة التكلفة الكلية في إحدى الشركات على الصورة التالية:
TC = 10Q2 - 60Q + 100
المطلوب: أوجد حجم الإنتاج الذي يحقق أقل تكلفة كلية ممكنة وعند هذا الحجم أوجد قيمة التكلفة الكلية.
حيث أن إشارة المشتقة الثانية موجبة تكون للدالة نهاية صغرى عندما 3=Q
- قيمة التكلفة الكلية عندما 3=Q
TC = 10(3)2 + 60(3) + 100 =10 =
مثال: إذا كانت دالة الطلب لإحدى السلع تأخذ الصورة التالية:
P=-3Q + 24
وكانت دالة التكلفة الكلية للمنشأة على الصورة:
TC=Q3-3Q2-24Q + 100
المطلوب:
1 - حجم الإنتاج الذي يحقق أقصى إيراد ممكن.
2ـ حجم الإنتاج الذي يحقق أقل تكلفة كلية ممكنة.
3 ـ حجم الإنتاج الذي يحقق أقصى ربح ممكن.
4- عند حجم الإنتاج الأمثل الذي يحقق أقصى ربح ممكن أوجد كل مـن MC, MR
الحل:
1 - حجم الإنتاج الذي يحقق أقصى إيراد ممكن
وكانت دالة التكلفة الكلية تأخذ الصورة:
TC = 200 +5Q + 0.05Q2
المطلوب:
1- أوجد حجم الإنتاج الذي يحقق أقصى ربح ممكن.
2- عند حجم الإنتاج الذي يحقق أقصى ربح ممكن أوجد قيمـة الربح وقيمـة السعر الذي تباع به السلعة.
3- عند حجم الإنتاج الذي يحقق أقصى ربح أوجد قيمة كل من MR, MC
الحل:
- دالة الإيراد الكلي (TR)
TR = P x Q
Q – 0.95Q2 205=
- دالة التكلفة الكلية (TC)
TC = 200 + 5Q + 0.05Q2
- دالة الربح (π):
= TR - TCπ
Q – 0.95Q2 -200 -5Q 0.05Q2 205 =
= - Q + 200Q - 200π
- إيجاد المشتقة الأولى:
نجد ان حجم الإنتاج الأمثل الذي يحقق أقصى ربح ان MC = MR
