x
هدف البحث
بحث في العناوين
بحث في المحتوى
بحث في اسماء الكتب
بحث في اسماء المؤلفين
اختر القسم
موافق
تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Separation Axioms
المؤلف: Alexandroff, P. and Hopf, H
المصدر: Topologie, Vol. 1. New York: Chelsea 1972.
الجزء والصفحة: ...
28-7-2021
2142
A list of five properties of a topological space expressing how rich the "population" of open sets is. More precisely, each of them tells us how tightly a closed subset can be wrapped in an open set. The measure of tightness is the extent to which this envelope can separate the subset from other subsets. The numbering from 0 to 4 refers to an increasing degree of separation.
0. T0-separation axiom: For any two points , there is an open set such that and or and .
1. T1-separation axiom: For any two points there exists two open sets and such that and , and and .
2. T2-separation axiom: For any two points there exists two open sets and such that , , and .
3. T3-separation axiom: fulfils and is regular.
4. T4-separation axiom: fulfils and is normal.
Some authors (e.g., Cullen 1968, pp. 113 and 118) interchange axiom and regularity, and axiom and normality.
A topological space fulfilling is called a -space for short. In the terminology of Alexandroff and Hopf (1972), -spaces are also called Kolmogorov spaces, -spaces are Fréchet spaces, -spaces are Hausdorff spaces, -spaces are Vietoris spaces, and -spaces are Tietze spaces. These names can also be referred to the topologies.
A topological space fulfilling one of the axioms also fulfils all preceding axioms, since . None of these implications can be reversed in general. This is possible only under additional assumptions. For example, a regular -space is , and a compact -space is (McCarty 1967, p. 145). A metric topology is always , whereas the trivial topology on a space with at least two elements is not even . An example of a topology that is but not is the one whose open sets are the intervals of the real line. Given two distinct real numbers , if , then , but . This shows that axiom is fulfilled. Axiom is not, since it can be easily shown that is true iff all singleton sets are closed. For this reason, the Zariski topology of is . However, it is not , because the intersection of two open sets is always nonempty.
Note that in this context the word axiom is not used in the meaning of "principle" of a theory, which has necessarily to be assumed, but in the meaning of "requirement" contained in a definition, which can be fulfilled or not, depending on the cases.
REFERENCES:
Alexandroff, P. and Hopf, H. Topologie, Vol. 1. New York: Chelsea 1972.
Cullen, H. F. "Separation Axioms." Ch. 3 in Introduction to General Topology. Boston, MA: Heath, pp. 99-140, 1968.
Joshi, K. D. "Separation Axioms." Ch. 7 in Introduction to General Topology. New Delhi, India: Wiley, pp. 159-188, 1983.
McCarty, G. Topology, an Introduction with Application to Topological Groups. New York: McGraw-Hill, 1967.
Willard, S. "The Separation Axioms." §13 in General Topology. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 85-92, 1970.