The weak law of large numbers (cf. the strong law of large numbers) is a result in probability theory also known as Bernoulli's theorem. Let , ...,  be a sequence of independent and identically distributed random variables, each having a mean  and standard deviation . Define a new variable

(1)

Then, as , the sample mean  equals the population mean  of each variable.

			(2)
			(3)
			(4)
			(5)

In addition,

			(6)
			(7)
			(8)
			(9)

Therefore, by the Chebyshev inequality, for all ,

(10)

As , it then follows that

(11)

(Khinchin 1929). Stated another way, the probability that the average  for  an arbitrary positive quantity approaches 1 as  (Feller 1968, pp. 228-229).

REFERENCES:

Feller, W. "Laws of Large Numbers." Ch. 10 in An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. New York: Wiley, pp. 228-247, 1968.

Feller, W. "Law of Large Numbers for Identically Distributed Variables." §7.7 in An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 2, 3rd ed. New York: Wiley, pp. 231-234, 1971.

Khinchin, A. "Sur la loi des grands nombres." Comptes rendus de l'Académie des Sciences 189, 477-479, 1929.

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 69-71, 1984.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يشرع بإدامة شباكين قديمين لمرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام)

فرقة العباس (عليه السلام) تختتم خدماتها المقدمة للزائرين في سامراء

موكب العتبتين المقدستين يحيي ذكرى استشهاد الإمام الهادي (عليه السلام) في سامراء

العتبة العسكرية المقدسة تكرّم وفد العتبة العباسية المقدسة لمشاركته في تقديم الخدمات للزائرين

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد