إتصل بنا

ENGLISH

بحث في العناوين     بحث في المحتوى     بحث في اسماء الكتب     بحث في اسماء المؤلفين

القرأن الكريم وعلومه
العقائد الأسلامية
الفقه الأسلامي
علم الرجال
السيرة النبوية
الاخلاق والادعية
اللغة العربية وعلومها
الأدب العربي
الأسرة والمجتمع
التاريخ
الأدارة والاقتصاد
علم الفيزياء
علم الكيمياء
علم الأحياء
الرياضيات
الزراعة
الجغرافية
القانون
الإعلام

رمز الامان : 4344

الرياضيات

عدد المواضيع في هذا القسم 7985
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
مواضيع عامة في الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان

Poisson Distribution

04:33 PM

19 / 4 / 2021

87

Author : Beyer, W. H.

Book or Source : CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press

page : ...

+
-

Poisson Distribution

 PoissonDistribution

Given a Poisson process, the probability of obtaining exactly n successes in N trials is given by the limit of a binomial distribution

 P_p(n|N)=(N!)/(n!(N-n)!)p^n(1-p)^(N-n).

(1)

Viewing the distribution as a function of the expected number of successes

 nu=Np

(2)

instead of the sample size N for fixed p, equation (2) then becomes

 P_(nu/N)(n|N)=(N!)/(n!(N-n)!)(nu/N)^n(1-nu/N)^(N-n),

(3)

Letting the sample size N become large, the distribution then approaches

P_nu(n) = lim_(N->infty)P_p(n|N)

(4)

= lim_(N->infty)(N(N-1)...(N-n+1))/(n!)(nu^n)/(N^n)(1-nu/N)^N(1-nu/N)^(-n)

(5)

= lim_(N->infty)(N(N-1)...(N-n+1))/(N^n)(nu^n)/(n!)(1-nu/N)^N(1-nu/N)^(-n)

(6)

= 1·(nu^n)/(n!)·e^(-nu)·1

(7)

= (nu^ne^(-nu))/(n!),

(8)

which is known as the Poisson distribution (Papoulis 1984, pp. 101 and 554; Pfeiffer and Schum 1973, p. 200). Note that the sample size N has completely dropped out of the probability function, which has the same functional form for all values of nu.

The Poisson distribution is implemented in the Wolfram Language as PoissonDistribution[mu].

As expected, the Poisson distribution is normalized so that the sum of probabilities equals 1, since

 sum_(n=0)^inftyP_nu(n)=e^(-nu)sum_(n=0)^infty(nu^n)/(n!)=e^(-nu)e^nu=1.

(9)

The ratio of probabilities is given by

 (P_nu(n=i+1))/(P(n=i))=((nu^(i+1)e^(-nu))/((i+1)!))/((e^(-nu)nu^i)/(i!))=nu/(i+1).

(10)

The Poisson distribution reaches a maximum when

 (dP_nu(n))/(dn)=(e^(-nu)n(gamma-H_n+lnnu))/(n!)=0,

(11)

where gamma is the Euler-Mascheroni constant and H_n is a harmonic number, leading to the transcendental equation

 gamma-H_n+lnnu=0,

(12)

which cannot be solved exactly for n.

The moment-generating function of the Poisson distribution is given by

M(t) = e^(-nu)e^(nue^t)=e^(nu(e^t-1))

(13)

= nue^te^(nu(e^t-1))

(14)

= (nue^t)^2e^(nu(e^t-1))+nue^te^(nu(e^t-1))

(15)

R(t) = nu(e^t-1)

(16)

= nue^t

(17)

= nue^t,

(18)

so

mu =

(19)

sigma^2 =

(20)

(Papoulis 1984, p. 554).

The raw moments can also be computed directly by summation, which yields an unexpected connection with the Bell polynomial phi_n(x) and Stirling numbers of the second kind,

 phi_n(x)=sum_(k=0)^infty(e^(-x)x^k)/(k!)k^n=sum_(k=1)^nx^kS(n,k)

(21)

known as Dobiński's formula. Therefore,

= nu(1+nu)

(22)

= nu(1+3nu+nu^2)

(23)

= nu(1+7nu+6nu^2+nu^3).

(24)

The central moments can then be computed as

mu_2 = nu

(25)

mu_3 = nu

(26)

mu_4 = nu(1+3nu),

(27)

so the mean, variance, skewness, and kurtosis excess are

mu = nu

(28)

sigma^2 = nu

(29)

gamma_1 = (mu_3)/(sigma^3)=nu/(nu^(3/2))=nu^(-1/2)

(30)

gamma_2 = (mu_4)/(sigma^4)-3=(nu(1+3nu))/(nu^2)-3

(31)

= (nu+3nu^2-3nu^2)/(nu^2)=nu^(-1).

(32)

The characteristic function for the Poisson distribution is

 phi(t)=e^(nu(e^(it)-1))

(33)

(Papoulis 1984, pp. 154 and 554), and the cumulant-generating function is

 K(h)=nu(e^h-1)=nu(h+1/(2!)h^2+1/(3!)h^3+...),

(34)

so

 kappa_r=nu.

(35)

The mean deviation of the Poisson distribution is given by

 MD=(2e^(-nu)nu^(|_nu_|+1))/(|_nu_|!).

(36)

The Poisson distribution can also be expressed in terms of

 lambda=nu/x,

(37)

the rate of changes, so that

 P_nu(n)=((lambdax)^ne^(-lambdax))/(n!).

(38)

The moment-generating function of a Poisson distribution in two variables is given by

 M(t)=e^((nu_1+nu_2)(e^t-1)).

(39)

If the independent variables x_1x_2, ..., x_N have Poisson distributions with parameters mu_1mu_2, ..., mu_N, then

 X=sum_(j=1)^Nx_j

(40)

has a Poisson distribution with parameter

 mu=sum_(j=1)^Nmu_j.

(41)

This can be seen since the cumulant-generating function is

 K_j(h)=mu_j(e^h-1)

(42)

 K=sum_(j)K_j(h)=(e^h-1)sum_(j)mu_j=mu(e^h-1).

(43)

A generalization of the Poisson distribution has been used by Saslaw (1989) to model the observed clustering of galaxies in the universe. The form of this distribution is given by

 f_b(N)=(N^_(1-b))/(N!)[N^_(1-b)+Nb]^(N-1)e^(N^_(1-b)-Nb),

(44)

where N is the number of galaxies in a volume VN^_=n^_Vn^_ is the average density of galaxies, and b=-W/(2K) approx 0.70+/-0.05, with 0<=b<1 is the ratio of gravitational energy to the kinetic energy of peculiar motions, Letting b=0 gives

 f_0(N)=(e^(-N^_)N^_^N)/(N!),

(45)

which is indeed a Poisson distribution with nu=N^_. Similarly, letting b=1 gives f_1(N)=0.


REFERENCES:

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 532, 1987.

Grimmett, G. and Stirzaker, D. Probability and Random Processes, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, 1992.

Papoulis, A. "Poisson Process and Shot Noise." Ch. 16 in Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 554-576, 1984.

Pfeiffer, P. E. and Schum, D. A. Introduction to Applied Probability. New York: Academic Press, 1973.

Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Incomplete Gamma Function, Error Function, Chi-Square Probability Function, Cumulative Poisson Function." §6.2 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 209-214, 1992.

Saslaw, W. C. "Some Properties of a Statistical Distribution Function for Galaxy Clustering." Astrophys. J. 341, 588-598, 1989.

Spiegel, M. R. Theory and Problems of Probability and Statistics. New York: McGraw-Hill, pp. 111-112, 1992.

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار ..عقيدَتُنا في المَعادِ الجِسمانيِّ

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار .. أَفْضَلُ الزُّهْدِ إِخْفَاءُ الزُّهْدِ

مظاهر التطرف الاجتماعي

جدلية تأثُرْ النحو العربي بالمنطق والفلسفة

صندوق المستقبل

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار .. أَفْضَلُ الْأَعْمَالِ مَا أَكْرَهْتَ نَفْسَكَ عَلَيْهِ

أوغسطينوس العظيم .. الضال الذي أوصلته محطات الانحراف إلى الله!!

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار .. عقيدتنا في عصمة الإمام

 ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار ..عقيدَتُنا في حَقِّ المُسلِمِ على المُسلِم

وسائلُ الإعلام نِعمَةٌ أم نِقمَة؟

الدگة العشائرية عادة جاهلية مخالفة للعقل والدين والفطرة السليمة

الرد على من ينبز الإسلام بالبداوة

المتوكل العباسي وتضييق الخناق على الإمام الهادي (ع)

لعن الله المُحلِّل والمُحلَّل له

صلاحيات النبي (صلى الله عليه وآله) في رعاية شؤون الأمة

موقف أئمة أهل البيت وشيعتهم من حادثة الإفك

استدلال الزهراء (عليها السلام) على حقها بأرث أبيها

السحر والدجل مخالب فكرية خطيرة تنهش بجسد المجتمع

كيف َتكون علاقَتُكِ مع حَمَاتِكِ – أُمُّ زَوجِكِ – صافيةً ومُستَقِرَّةً؟

ماذا يجِبُ على مُعَلِّمَةِ الرَّوضَةِ أنْ تَعرِفَهُ؟

لماذا فُرِضَ الحِجابُ على المرأةِ؟

أدوارُ المرأةِ النّاجِحَة

ماهِيَ أُصولُ التربيةِ الإسلاميةِ؟

ماهِيَ أَهَمُّ مُشكِلَةٍ يواجِهُها الوالدانِ؟

حَفِّزْ طفلَكَ ليُبادِرَ الى اختيارِهِ

متى تكونُ الأسرَةُ مُنسَجِمةً؟

زينَةُ الجوهَرِ وزينَةُ المظهَرِ

مركبة أخرى من هيونداي لمحبي التميّز والقوة والتصاميم العصرية

تويوتا تعلن عن أحدث سياراتها العائلية الأنيقة والعملية

ميزة طال انتظارها ستظهر في تليغرام قريبا

سامسونغ تعلن رسميا عن هاتف رخيص الثمن لشبكات 5G

أمازون تتحضر لإطلاق أحدث حواسبها اللوحية بسعر منافس

كشف سر جينوم Z الغامض الموجود لدى بعض الفيروسات!

حل لغز نوع غريب منقرض من التماسيح بعد 150 عاما من الجدل

الغبار النووي ... بحث صادم يكشف مواد مشعة في العسل

اكتشاف ديناصور عملاق في تشيلي

تقوي المناعة وتقي من الأمراض... 10 أطعمة احرص عليها في سن الأربعين

يمكنك تناول هذه الأطعمة في الليل دون ضرر

خبراء: ماذا يحدث لجسمك إذا تناولت المعكرونة يوميا؟

كيف يؤثر عدم تناول الفطور على الصحة

أخصائية روسية تكشف عن الأشخاص الممنوعين من تناول البصل

عشق القهوة قد تحكمه عوامل جينية

فوائد تناول التمر بانتظام

طبيبة روسية تكشف عن المواد الغذائية المساعدة للهضم

طبيبة روسية تكشف علاقة بذور الرمان في علاج الأمعاء

القوّاتُ الأمنيّة تشترك في الختمة القرآنيّة الرمضانيّة المرتّلة

رئيسُ جامعة الكفيل يستعرض نجاح تجربة التعليم المدمج

العتبة العلوية المقدسة تعلن نجاح خطتها الخَدمية في ذكرى استشهاد الإمام أمير المؤمنين (عليه السلام)

رحم الله من نادى وا علياه ... نَدبت مجلس العزاء في الصحن الشريف باستشهاد أبي الأيتام علي (عليه السلام) –صور -

بالصور: دموع امتزجت بحروف الدعاء.. عدسة الموقع الرسمي توثق مراسيم احياء ليالي القدر المباركة

دورة للعاطلين عن العمل وتاركي الدراسة.. العتبة الحسينية تواصل برامجها الخاصة بالشباب لتطوير مهاراتهم ومساعدتهم بالدخول الى سوق العمل

الأمانتان العامتان للعتبتين المقدستين العلوية والكاظمية تقيمان محفلاً قرآنياً لمناسبة ذكرى ولادة الإمام الحسن "عليه السلام"

محفل قرآني خاص لمناسبة ذكرى ولادة الإمام الحسن "عليه السلام"

الأمين العام للعتبة العسكرية المقدسة يلتقي معتمدي وأهالي مدينتي تلعفر و ديالى