إتصل بنا

ENGLISH

بحث في العناوين     بحث في المحتوى     بحث في اسماء الكتب     بحث في اسماء المؤلفين

القرأن الكريم وعلومه
العقائد الأسلامية
الفقه الأسلامي
علم الرجال
السيرة النبوية
الاخلاق والادعية
اللغة العربية وعلومها
الأدب العربي
الأسرة والمجتمع
التاريخ
الأدارة والاقتصاد
علم الفيزياء
علم الكيمياء
علم الأحياء
الرياضيات
الزراعة
الجغرافية
القانون
الإعلام

رمز الامان : 394

الرياضيات

عدد المواضيع في هذا القسم 7985
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
مواضيع عامة في الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان

Hypergeometric Distribution

02:52 AM

18 / 4 / 2021

78

Author : Beyer, W. H.

Book or Source : CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press

page : ...

+
-

Hypergeometric Distribution

Let there be n ways for a "good" selection and m ways for a "bad" selection out of a total of n+m possibilities. Take N samples and let x_i equal 1 if selection i is successful and 0 if it is not. Let x be the total number of successful selections,

 x=sum_(i=1)^Nx_i.

(1)

The probability of i successful selections is then

P(x=i) = ([# ways for i successes][# ways for N-i failures])/([total number of ways to select])

(2)

= ((n; i)(m; N-i))/((m+n; N))

(3)

= (m!n!N!(m+n-N)!)/(i!(n-i)!(m+i-N)!(N-i)!(m+n)!).

(4)

The hypergeometric distribution is implemented in the Wolfram Language as HypergeometricDistribution[Nnm+n].

The problem of finding the probability of such a picking problem is sometimes called the "urn problem," since it asks for the probability that i out of N balls drawn are "good" from an urn that contains n "good" balls and m "bad" balls. It therefore also describes the probability of obtaining exactly i correct balls in a pick-N lottery from a reservoir of r balls (of which n=N are "good" and m=r-N are "bad"). For example, for N=6 and r=36, the probabilities of obtaining i correct balls are given in the following table.

number correct probability odds
0 0.3048 2.280:1
1 0.4390 1.278:1
2 0.2110 3.738:1
3 0.04169 22.99:1
4 0.003350 297.5:1
5 9.241×10^(-5) 10820:1
6 5.134×10^(-7) 1.948×10^6:1

The ith selection has an equal likelihood of being in any trial, so the fraction of acceptable selections p is

 p=n/(m+n),

(5)

i.e.,

 P(x_i=1)=n/(m+n).

(6)

The expectation value of x is therefore simply

mu = <sum_(i=1)^(N)x_i>

(7)

= sum_(i=1)^(N)<x_i>

(8)

= sum_(i=1)^(N)n/(m+n)

(9)

= (nN)/(m+n).

(10)

This can also be computed by direct summation as

mu = sum_(i=0)^(N)i((n; i)(m; N-i))/((n+m; N))

(11)

= (nN)/(m+n).

(12)

The variance is

 var(x)=sum_(i=1)^Nvar(x_i)+sum_(i=1)^Nsum_(j=1; j!=i)^Ncov(x_i,x_j).

(13)

Since x_i is a Bernoulli variable,

var(x_i) = p(1-p)

(14)

= n/(n+m)(1-n/(n+m))

(15)

= n/(n+m)(1-n/(n+m))

(16)

= n/(n+m)((n+m-n)/(n+m))

(17)

= (nm)/((n+m)^2),

(18)

so

 sum_(i=1)^Nvar(x_i)=(Nnm)/((n+m)^2).

(19)

For i<j, the covariance is

 cov(x_i,x_j)=<x_ix_j>-<x_i><x_j>.

(20)

The probability that both i and j are successful for i!=j is

P(x_i=1,x_j=1) = P(x_i=1)P(x_j=1|x_i=1)

(21)

= n/(n+m)(n-1)/(n+m-1)

(22)

= (n(n-1))/((n+m)(n+m-1)).

(23)

But since x_i and x_j are random Bernoulli variables (each 0 or 1), their product is also a Bernoulli variable. In order for x_ix_j to be 1, both x_i and x_j must be 1,

<x_ix_j> = P(x_ix_j=1)=P(x_i=1,x_j=1)

(24)

= n/(n+m)(n-1)/(n+m-1)

(25)

= (n(n-1))/((n+m)(n+m-1)).

(26)

Combining (26) with

<x_i><x_j> = n/(n+m)n/(n+m)

(27)

= (n^2)/((n+m)^2),

(28)

gives

cov(x_i,x_j) = ((n+m)(n^2-n)-n^2(n+m-1))/((n+m)^2(n+m-1))

(29)

= -(mn)/((n+m)^2(n+m-1)).

(30)

There are a total of N^2 terms in a double summation over N. However, i=j for N of these, so there are a total of N^2-N=N(N-1) terms in the covariance summation

 sum_(i=1)^Nsum_(j=1; j!=i)^Ncov(x_i,x_j)=-(N(N-1)mn)/((n+m)^2(n+m-1)).

(31)

Combining equations (◇), (◇), (◇), and (◇) gives the variance

var(x) = (Nmn)/((n+m)^2)-(N(N-1)mn)/((n+m)^2(n+m-1))

(32)

= (Nmn(n+m-N))/((n+m)^2(n+m-1)),

(33)

so the final result is

 <x>=Np

(34)

and, since

 1-p=m/(n+m)

(35)

and

 np(1-p)=(mn)/((n+m)^2),

(36)

we have

sigma^2 = var(x)

(37)

= Np(1-p)(1-(N-1)/(n+m-1))

(38)

= (mnN(m+n-N))/((m+n)^2(m+n-1)).

(39)

This can also be computed directly from the sum

sigma^2 = sum_(i=0)^(N)((n; i)(m; N-i))/((n+m; N))(i-mu)^2

(40)

= (mnN(m+n-N))/((m+n)^2(m+n-1)).

(41)

The skewness is

gamma_1 = (q-p)/(sqrt(npq))sqrt((N-1)/(N-m))((N-2n)/(N-2))

(42)

= ((m-n)(m+n-2N))/(m+n-2)sqrt((m+n-1)/(mnN(m+n-N))),

(43)

and the kurtosis excess is given by a complicated expression.

The generating function is

 phi(t)=((m; N))/((n+m; N))_2F_1(-N,-n;m-N+1;e^(it)),

(44)

where _2F_1(a,b;c;z) is the hypergeometric function.

If the hypergeometric distribution is written

 h_n(x,s)=((np; x)(nq; s-x))/((n; s)),

(45)

then

 sum_(x=0)^sh_n(x,s)u^x=A_2F_1(-s,-np;nq-s+1;u),

(46)

where A is a constant.


REFERENCES:

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 532-533, 1987.

Feller, W. "The Hypergeometric Series." §2.6 in An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. New York: Wiley, pp. 41-45, 1968.

Spiegel, M. R. Theory and Problems of Probability and Statistics. New York: McGraw-Hill, pp. 113-114, 1992.

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار ..عقيدَتُنا في المَعادِ الجِسمانيِّ

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار .. أَفْضَلُ الزُّهْدِ إِخْفَاءُ الزُّهْدِ

مظاهر التطرف الاجتماعي

جدلية تأثُرْ النحو العربي بالمنطق والفلسفة

صندوق المستقبل

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار .. أَفْضَلُ الْأَعْمَالِ مَا أَكْرَهْتَ نَفْسَكَ عَلَيْهِ

أوغسطينوس العظيم .. الضال الذي أوصلته محطات الانحراف إلى الله!!

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار .. عقيدتنا في عصمة الإمام

 ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار ..عقيدَتُنا في حَقِّ المُسلِمِ على المُسلِم

وسائلُ الإعلام نِعمَةٌ أم نِقمَة؟

الدگة العشائرية عادة جاهلية مخالفة للعقل والدين والفطرة السليمة

الرد على من ينبز الإسلام بالبداوة

المتوكل العباسي وتضييق الخناق على الإمام الهادي (ع)

لعن الله المُحلِّل والمُحلَّل له

صلاحيات النبي (صلى الله عليه وآله) في رعاية شؤون الأمة

موقف أئمة أهل البيت وشيعتهم من حادثة الإفك

استدلال الزهراء (عليها السلام) على حقها بأرث أبيها

السحر والدجل مخالب فكرية خطيرة تنهش بجسد المجتمع

كيف َتكون علاقَتُكِ مع حَمَاتِكِ – أُمُّ زَوجِكِ – صافيةً ومُستَقِرَّةً؟

ماذا يجِبُ على مُعَلِّمَةِ الرَّوضَةِ أنْ تَعرِفَهُ؟

لماذا فُرِضَ الحِجابُ على المرأةِ؟

أدوارُ المرأةِ النّاجِحَة

ماهِيَ أُصولُ التربيةِ الإسلاميةِ؟

ماهِيَ أَهَمُّ مُشكِلَةٍ يواجِهُها الوالدانِ؟

حَفِّزْ طفلَكَ ليُبادِرَ الى اختيارِهِ

متى تكونُ الأسرَةُ مُنسَجِمةً؟

زينَةُ الجوهَرِ وزينَةُ المظهَرِ

مركبة أخرى من هيونداي لمحبي التميّز والقوة والتصاميم العصرية

تويوتا تعلن عن أحدث سياراتها العائلية الأنيقة والعملية

ميزة طال انتظارها ستظهر في تليغرام قريبا

سامسونغ تعلن رسميا عن هاتف رخيص الثمن لشبكات 5G

أمازون تتحضر لإطلاق أحدث حواسبها اللوحية بسعر منافس

كشف سر جينوم Z الغامض الموجود لدى بعض الفيروسات!

حل لغز نوع غريب منقرض من التماسيح بعد 150 عاما من الجدل

الغبار النووي ... بحث صادم يكشف مواد مشعة في العسل

اكتشاف ديناصور عملاق في تشيلي

تقوي المناعة وتقي من الأمراض... 10 أطعمة احرص عليها في سن الأربعين

يمكنك تناول هذه الأطعمة في الليل دون ضرر

خبراء: ماذا يحدث لجسمك إذا تناولت المعكرونة يوميا؟

كيف يؤثر عدم تناول الفطور على الصحة

أخصائية روسية تكشف عن الأشخاص الممنوعين من تناول البصل

عشق القهوة قد تحكمه عوامل جينية

فوائد تناول التمر بانتظام

طبيبة روسية تكشف عن المواد الغذائية المساعدة للهضم

طبيبة روسية تكشف علاقة بذور الرمان في علاج الأمعاء

القوّاتُ الأمنيّة تشترك في الختمة القرآنيّة الرمضانيّة المرتّلة

رئيسُ جامعة الكفيل يستعرض نجاح تجربة التعليم المدمج

العتبة العلوية المقدسة تعلن نجاح خطتها الخَدمية في ذكرى استشهاد الإمام أمير المؤمنين (عليه السلام)

رحم الله من نادى وا علياه ... نَدبت مجلس العزاء في الصحن الشريف باستشهاد أبي الأيتام علي (عليه السلام) –صور -

بالصور: دموع امتزجت بحروف الدعاء.. عدسة الموقع الرسمي توثق مراسيم احياء ليالي القدر المباركة

دورة للعاطلين عن العمل وتاركي الدراسة.. العتبة الحسينية تواصل برامجها الخاصة بالشباب لتطوير مهاراتهم ومساعدتهم بالدخول الى سوق العمل

الأمانتان العامتان للعتبتين المقدستين العلوية والكاظمية تقيمان محفلاً قرآنياً لمناسبة ذكرى ولادة الإمام الحسن "عليه السلام"

محفل قرآني خاص لمناسبة ذكرى ولادة الإمام الحسن "عليه السلام"

الأمين العام للعتبة العسكرية المقدسة يلتقي معتمدي وأهالي مدينتي تلعفر و ديالى