إتصل بنا

ENGLISH

بحث في العناوين     بحث في المحتوى     بحث في اسماء الكتب     بحث في اسماء المؤلفين

القرأن الكريم وعلومه
العقائد الأسلامية
الفقه الأسلامي
علم الرجال
السيرة النبوية
الاخلاق والادعية
اللغة العربية وعلومها
الأدب العربي
الأسرة والمجتمع
التاريخ
الأدارة والاقتصاد
علم الفيزياء
علم الكيمياء
علم الأحياء
الرياضيات
الزراعة
الجغرافية
القانون
الإعلام

رمز الامان : 3471

الرياضيات

عدد المواضيع في هذا القسم 7855
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
مواضيع عامة في الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان

Gamma Distribution

03:32 PM

6 / 4 / 2021

13

Author : Beyer, W. H.

Book or Source : CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press

page : ...

+
-

Gamma Distribution

GammaDistribution

A gamma distribution is a general type of statistical distribution that is related to the beta distribution and arises naturally in processes for which the waiting times between Poisson distributed events are relevant. Gamma distributions have two free parameters, labeled alpha and theta, a few of which are illustrated above.

Consider the distribution function D(x) of waiting times until the hth Poisson event given a Poisson distribution with a rate of change lambda,

D(x) = P(X<=x)

(1)

= 1-P(X>x)

(2)

= 1-sum_(k=0)^(h-1)((lambdax)^ke^(-lambdax))/(k!)

(3)

= 1-e^(-lambdax)sum_(k=0)^(h-1)((lambdax)^k)/(k!)

(4)

= 1-(Gamma(h,xlambda))/(Gamma(h))

(5)

for x in [0,infty), where Gamma(x) is a complete gamma function, and Gamma(a,x) an incomplete gamma function. With h an integer, this distribution is a special case known as the Erlang distribution.

The corresponding probability function P(x) of waiting times until the hth Poisson event is then obtained by differentiating D(x),

P(x) =

(6)

= lambdae^(-lambdax)sum_(k=0)^(h-1)((lambdax)^k)/(k!)-e^(-lambdax)sum_(k=0)^(h-1)(k(lambdax)^(k-1)lambda)/(k!)

(7)

= lambdae^(-lambdax)+lambdae^(-lambdax)sum_(k=1)^(h-1)((lambdax)^k)/(k!)-e^(-lambdax)sum_(k=1)^(h-1)(k(lambdax)^(k-1)lambda)/(k!)

(8)

= lambdae^(-lambdax)-lambdae^(-lambdax)sum_(k=1)^(h-1)[(k(lambdax)^(k-1))/(k!)-((lambdax)^k)/(k!)]

(9)

= lambdae^(-lambdax)<span style='font-family: rasol;'> { </span>1-sum_(k=1)^(h-1)[((lambdax)^(k-1))/((k-1)!)-((lambdax)^k)/(k!)]<span style='font-family: rasol;'> } </span>

(10)

= lambdae^(-lambdax)<span style='font-family: rasol;'> { </span>1-[1-((lambdax)^(h-1))/((h-1)!)]<span style='font-family: rasol;'> } </span>

(11)

= (lambda(lambdax)^(h-1))/((h-1)!)e^(-lambdax).

(12)

Now let alpha=h (not necessarily an integer) and define theta=1/lambda to be the time between changes. Then the above equation can be written

 P(x)=(x^(alpha-1)e^(-x/theta))/(Gamma(alpha)theta^alpha)

(13)

for x in [0,infty). This is the probability function for the gamma distribution, and the corresponding distribution function is

 D(x)=P(alpha,x/theta),

(14)

where P(a,z) is a regularized gamma function.

It is implemented in the Wolfram Language as the function GammaDistribution[alphatheta].

The characteristic function describing this distribution is

phi(t) = F_x<span style='font-family: rasol;'> { </span>(x^(-x/theta)x^(alpha-1))/(Gamma(alpha)theta^alpha)[1/2(1+sgnx)]<span style='font-family: rasol;'> } </span>(t)

(15)

= (1-ittheta)^(-alpha),

(16)

where F_x[f](t) is the Fourier transform with parameters a=b=1, and the moment-generating function is

M(t) = int_0^infty(e^(tx)x^(alpha-1)e^(-x/theta)dx)/(Gamma(alpha)theta^alpha)

(17)

= int_0^infty(x^(alpha-1)e^(-(1-thetat)x/theta)dx)/(Gamma(alpha)theta^alpha).

(18)

giving moments about 0 of

(19)

(Papoulis 1984, p. 147).

In order to explicitly find the moments of the distribution using the moment-generating function, let

y = ((1-thetat)x)/theta

(20)

dy = (1-thetat)/thetadx,

(21)

so

M(t) = int_0^infty((thetay)/(1-thetat))^(alpha-1)(e^(-y))/(Gamma(alpha)theta^alpha)(thetady)/(1-thetat)

(22)

= 1/((1-thetat)^alphaGamma(alpha))int_0^inftyy^(alpha-1)e^(-y)dy

(23)

= 1/((1-thetat)^alpha),

(24)

giving the logarithmic moment-generating function as

R(t) = -alphaln(1-thetat)

(25)

= (alphatheta)/(1-thetat)

(26)

= (alphatheta^2)/((1-thetat)^2).

(27)

The mean, variance, skewness, and kurtosis excess are then

mu = alphatheta

(28)

sigma^2 = alphatheta^2

(29)

gamma_1 = 2/(sqrt(alpha))

(30)

gamma_2 = 6/alpha.

(31)

The gamma distribution is closely related to other statistical distributions. If X_1X_2, ..., X_n are independent random variates with a gamma distribution having parameters (alpha_1,theta)(alpha_2,theta), ..., (alpha_n,theta), then sum_(i=1)^(n)X_i is distributed as gamma with parameters

alpha = sum_(i=1)^(n)alpha_i

(32)

theta = theta.

(33)

Also, if X_1 and X_2 are independent random variates with a gamma distribution having parameters (alpha_1,theta) and (alpha_2,theta), then X_1/(X_1+X_2) is a beta distribution variate with parameters (alpha_1,alpha_2). Both can be derived as follows.

 P(x_1,x_2)=1/(Gamma(alpha_1)Gamma(alpha_2))e^(x_1+x_2)x_1^(alpha_1-1)x_2^(alpha_2-1).

(34)

Let

 u=x_1+x_2    x_1=uv

(35)

 v=(x_1)/(x_1+x_2)    x_2=u(1-v),

(36)

then the Jacobian is

 J((x_1,x_2)/(u,v))=|v u; 1-v -u|=-u,

(37)

so

 g(u,v)dudv=f(x,y)dxdy=f(x,y)ududv.

(38)

g(u,v) = u/(Gamma(alpha_1)Gamma(alpha_2))e^(-u)(uv)^(alpha_1-1)u^(alpha_2-1)(1-v)^(alpha_2-1)

(39)

= 1/(Gamma(alpha_1)Gamma(alpha_2))e^(-u)u^(alpha_1+alpha_2-1)v^(alpha_1-1)(1-v)^(alpha_2-1).

(40)

The sum X_1+X_2 therefore has the distribution

 f(u)=f(x_1+x_2)=int_0^1g(u,v)dv=(e^(-u)u^(alpha_1+alpha_2-1))/(Gamma(alpha_1+alpha_2)),

(41)

which is a gamma distribution, and the ratio X_1/(X_1+X_2) has the distribution

h(v) = h((x_1)/(x_1+x_2))

(42)

= int_0^inftyg(u,v)du

(43)

= (v^(alpha_1-1)(1-v)^(alpha_2-1))/(B(alpha_1,alpha_2)),

(44)

where B is the beta function, which is a beta distribution.

If X and Y are gamma variates with parameters alpha_1 and alpha_2, the X/Y is a variate with a beta prime distribution with parameters alpha_1 and alpha_2. Let

 u=x+y    v=x/y,

(45)

then the Jacobian is

 J((u,v)/(x,y))=|1 1; 1/y -x/(y^2)|=-(x+y)/(y^2)=-((1+v)^2)/u,

(46)

so

 dxdy=u/((1+v)^2)dudv

(47)

g(u,v) = 1/(Gamma(alpha_1)Gamma(alpha_2))e^(-u)((uv)/(1+v))^(alpha_1-1)(u/(1+v))^(alpha_2-1)u/((1+v)^2)

(48)

= 1/(Gamma(alpha_1)Gamma(alpha_2))e^(-u)u^(alpha_1+alpha_2-1)v^(alpha_1-1)(1+v)^(-alpha_1-alpha_2).

(49)

The ratio X/Y therefore has the distribution

 h(v)=int_0^inftyg(u,v)du=(v^(alpha_1-1)(1+v)^(-alpha_1-alpha_2))/(B(alpha_1,alpha_2)),

(50)

which is a beta prime distribution with parameters (alpha_1,alpha_2).

The "standard form" of the gamma distribution is given by letting y=x/theta, so dy=dx/theta and

P(y)dy = (x^(alpha-1)e^(-x/theta))/(Gamma(alpha)theta^alpha)dx

(51)

= ((thetay)^(alpha-1)e^(-y))/(Gamma(alpha)theta^alpha)(thetady)

(52)

= (y^(alpha-1)e^(-y))/(Gamma(alpha))dy,

(53)

so the moments about 0 are

nu_r = 1/(Gamma(alpha))int_0^inftye^(-x)x^(alpha-1+r)dx

(54)

= (Gamma(alpha+r))/(Gamma(alpha))

(55)

= (alpha)_r,

(56)

where (alpha)_r is the Pochhammer symbol. The moments about mu=mu_1 are then

mu_1 = alpha

(57)

mu_2 = alpha

(58)

mu_3 = 2alpha

(59)

mu_4 = 3alpha^2+6alpha.

(60)

The moment-generating function is

 M(t)=1/((1-t)^alpha),

(61)

and the cumulant-generating function is

 K(t)=alphaln(1-t)=alpha(t+1/2t^2+1/3t^3+...),

(62)

so the cumulants are

 kappa_r=alphaGamma(r).

(63)

If X is a normal variate with mean mu and standard deviation sigma, then

 Y=((X-mu)^2)/(2sigma^2)

(64)

is a standard gamma variate with parameter alpha=1/2.


REFERENCES:

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 534, 1987.

Jambunathan, M. V. "Some Properties of Beta and Gamma Distributions." Ann. Math. Stat. 25, 401-405, 1954.

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 103-104, 1984.

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار .. عقيدتنا في عصمة الإمام

 ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار ..عقيدَتُنا في حَقِّ المُسلِمِ على المُسلِم

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار .. عقيدَتُنا في البَعثِ والمَعاد

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار .. عقيدَتُنا في الدَّعوةِ إلى الوَحدَةِ الإسلاميّة

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار ..عقيدَتُنا في التّعاوُنِ معَ الظالمينَ

مراسيم ولادة الإمام الحسين (عليه السلام)

المَبعَثُ النّبويُّ الشّريفُ

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار .. أدعِيَةُ الصّحيفَةِ السّجادِيّة

ثِـــــــمَارُ الأَسفَـــــــــار ..عقيدَتُنا في مَعنى التشيُّعِ عندَ آلِ البَيتِ

دور الضمير في تقويم السلوك الإنساني

جاءَ في كتابِ (عقائدِ الإماميةِ) للعلامّةِ الشيخ مُحمّد رضا المُظفَّر(عقيدَتُنا في الرَّجعَة)

ما رسمه الله للإنسان هو عين العدل

القرآن مأدبة الله تعالى

كيفَ يَتِمُّ تأمينُ مَكانٍ مُناسِبٍ للطِّفلِ؟

من هو ابخل الناس؟

هل اقتصّ آدم (ع) من قابيل بعد قتل اخيه ؟

كل إنسانٍ مسؤول عن تبعات أفعاله

في معنى قوله تعالى { أَمِ اتَّخَذَ عِندَ الرَّحْمَٰنِ عَهْدًا}

أدوارُ المرأةِ النّاجِحَة

ماهِيَ أُصولُ التربيةِ الإسلاميةِ؟

ماهِيَ أَهَمُّ مُشكِلَةٍ يواجِهُها الوالدانِ؟

حَفِّزْ طفلَكَ ليُبادِرَ الى اختيارِهِ

متى تكونُ الأسرَةُ مُنسَجِمةً؟

زينَةُ الجوهَرِ وزينَةُ المظهَرِ

الفتاةُ المُراهِقَةُ بينَ الرُّشدِ والتَّمَرُّد

البحثُ عَن عَمَلٍ هُوَ شَرَفٌ وعِزَّةٌ

المُتَغيِّراتُ الاجتماعيّةُ في الطّفولةِ المُبكِّرَةِ

دراسة: أكثر من 5 آلاف طن من غبار المذنبات تصل الأرض كل عام

سوبارو تجمع القوة والأناقة في سيارة جديدة

الصينية Geely تتحضّر لإطلاق إحدى أفضل سيارات الهاتشباك!

مركبة أخرى تنضم لأسرة سيارات GMC الجبارة

كاسيو تعلن عن أولى ساعات G-Shock الذكية

سوني تكشف عن هاتف بمواصفات فائقة قريبا

عدوى دماغية غامضة تصيب الدببة الأمريكية فتتصرف كالكلاب الأليفة!

خبراء يتحدثون عن مخاطر تواجه العالم

للمرة الأولى في التاريخ.. مروحية ناسا الصغيرة في سماء المريخ قريباً

كشف عواقب غير متوقعة لتناول المشروبات المحلاة

يوغا العين .. هكذا تريح عينيك من عناء الأجهزة الرقمية!

التخلص من الوزن الزائد عبر تحفيز هرمون الشبع.. هل هذا ممكن؟

بعد الإصابة بكورونا.. كيف نسترجع حاستي الشم والتذوق؟

دراسة: عدسات لاصقة للكشف عن السرطان والسكري

للاستيقاظ مبكرا ونشيطا عليك النوم في هذه الأوقات فقط!

لقاح أسترازينيكا.. جامعة ألمانية تكتشف علاجاً لجلطات الدماغ

مخاطر التلوث ـ حبيبات البلاستيك تصل للأجنة في رحم الأمهات

دراسة جديدة تربط بين وتيرة المشي ومدى خطورة كوفيد-19

أكاديميّةُ الكفيل للإسعاف والتدريب الطبّي تنظّم دورتها الـ(55)

اللجنةُ التحكيميّة لمسابقة القصّة القصيرة تباشر بفرز النصوص المشارِكة

قسم الزراعة والثروة الحيوانية يعلن عن المباشرة بزراعة أشجار الزيتون

برعاية العتبة العلوية المقدسة...عمليات معقدة للأطفال من ذوي التشوهات القلبية الولادية بالتعاون مع فريق طبي دولي

بعد انتهاء زيارة النصف من شعبان وقبيل حلول شهر رمضان المبارك.. طقم من السجاد الجديد يكسو أرضية حرم أبي الفضل العباس (ع)

وسط اجراءات وقائية مشددة للحد من تفشي فيروس (كورونا).. جامعة وارث التابعة للعتبة الحسينية تجري الامتحانات الحضورية

العتبة الكاظمية المقدسة تُسجل مشاركتها في معرض دار المخطوطات العراقية

مركز الكاظمية لإحياء التراث يحضر حفل افتتاح المؤتمر العلمي الثاني الدولي

مركز تراث سامراء يطرح الإصدار الواحد والخمسون