In a plane, consider a sum of  two-dimensional vectors with random orientations. Use phasor notation, and let the phase of each vector be random. Assume  unit steps are taken in an arbitrary direction (i.e., with the angle  uniformly distributed in  and not on a lattice), as illustrated above. The position  in the complex plane after  steps is then given by

(1)

which has absolute square

			(2)
			(3)
			(4)

Therefore,

(5)

Each unit step is equally likely to be in any direction ( and ). The displacements are random variables with identical means of zero, and their difference is also a random variable. Averaging over this distribution, which has equally likely positive and negative values yields an expectation value of 0, so

(6)

The root-mean-square distance after  unit steps is therefore

(7)

so with a step size of , this becomes

(8)

In order to travel a distance ,

(9)

steps are therefore required.

Amazingly, it has been proven that on a two-dimensional lattice, a random walk has unity probability of reaching any point (including the starting point) as the number of steps approaches infinity.

REFERENCES:

McCrea, W. H. and Whipple, F. J. W. "Random Paths in Two and Three Dimensions." Proc. Roy. Soc. Edinburgh 60, 281-298, 1940.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

العتبة العباسية المقدسة تعلن عن إقامة دورةٍ تخصّصية في صناعة الخطاب على هدي نهج البلاغة

العتبة العباسية المقدسة تحتفي بمرور 1500 عام على المولد النبوي في بغداد

ملاكات جمعية كشافة الكفيل تطوف شوارع كربلاء المقدسة لتقديم التهاني بذكرى المولد النبوي المبارك

المجمع العلمي يحتفي بذكرى المولد النبوي في مقام الإمام المهدي (عجّل الله فرجه)

المزيد

الآخبار الصحية

الأطعمة الحارة.. "سر صغير" يغير صحة قلبك وعقلك

وباء صامت.. الملايين حول العالم مصابون بالسكري دون أن يعلموا !

لماذا ينصح بتناول تفاحة يوميا؟

8 فواكه طبيعية تمنحك نوما هنيئا.. وتخلصك من الأرق

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ثلاث علامات على وجود مشاكل خطيرة في محرك السيارة ؟

ماذا نعرف عن اللقاح الروسي ضد السرطان؟

مركبة فضاء تعثر على دليل عن وجود حياة قديمة على المريخ

لتدريب الذكاء الاصطناعي.. الصين تخطط لإنشاء شبكة حوسبة موحدة

المزيد