In a plane, consider a sum of  two-dimensional vectors with random orientations. Use phasor notation, and let the phase of each vector be random. Assume  unit steps are taken in an arbitrary direction (i.e., with the angle  uniformly distributed in  and not on a lattice), as illustrated above. The position  in the complex plane after  steps is then given by

(1)

which has absolute square

			(2)
			(3)
			(4)

Therefore,

(5)

Each unit step is equally likely to be in any direction ( and ). The displacements are random variables with identical means of zero, and their difference is also a random variable. Averaging over this distribution, which has equally likely positive and negative values yields an expectation value of 0, so

(6)

The root-mean-square distance after  unit steps is therefore

(7)

so with a step size of , this becomes

(8)

In order to travel a distance ,

(9)

steps are therefore required.

Amazingly, it has been proven that on a two-dimensional lattice, a random walk has unity probability of reaching any point (including the starting point) as the number of steps approaches infinity.

REFERENCES:

McCrea, W. H. and Whipple, F. J. W. "Random Paths in Two and Three Dimensions." Proc. Roy. Soc. Edinburgh 60, 281-298, 1940.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يشرع بإدامة شباكين قديمين لمرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام)

فرقة العباس (عليه السلام) تختتم خدماتها المقدمة للزائرين في سامراء

موكب العتبتين المقدستين يحيي ذكرى استشهاد الإمام الهادي (عليه السلام) في سامراء

العتبة العسكرية المقدسة تكرّم وفد العتبة العباسية المقدسة لمشاركته في تقديم الخدمات للزائرين

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد