A real-valued stochastic process {B(t):t>=0}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/BrownianMotion/Inline1.gif" style="height:15px; width:70px" /> is a Brownian motion which starts at  if the following properties are satisfied:

1. .

2. For all times , the increments , , ..., , are independent random variables.

3. For all , , the increments  are normally distributed with expectation value zero and variance .

4. The function  is continuous almost everywhere. The Brownian motion  is said to be standard if .

It is easily shown from the above criteria that a Brownian motion has a number of unique natural invariance properties including scaling invariance and invariance under time inversion. Moreover, any Brownian motion  satisfies a law of large numbers so that

almost everywhere. Moreover, despite looking ill-behaved at first glance, Brownian motions are Hölder continuous almost everywhere for all values . Contrarily, any Brownian motion is nowhere differentiable almost surely.

The above definition is extended naturally to get higher-dimensional Brownian motions. More precisely, given independent Brownian motions  which start at , one can define a stochastic process {beta(t):t>=0}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/BrownianMotion/Inline19.gif" style="height:15px; width:69px" /> by

Such a  is called a -dimensional Brownian motion which starts at .

REFERENCES:

Mörters, P. and Peres, Y. "Brownian Motion." 2008. http://www.stat.berkeley.edu/~peres/bmbook.pdf.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يشرع بإدامة شباكين قديمين لمرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام)

فرقة العباس (عليه السلام) تختتم خدماتها المقدمة للزائرين في سامراء

موكب العتبتين المقدستين يحيي ذكرى استشهاد الإمام الهادي (عليه السلام) في سامراء

العتبة العسكرية المقدسة تكرّم وفد العتبة العباسية المقدسة لمشاركته في تقديم الخدمات للزائرين

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد