Let  samples be taken from a population with central moments . The sample variance  is then given by

(1)

where  is the sample mean.

The expected value of  for a sample size  is then given by

(2)

Similarly, the expected variance of the sample variance is given by

			(3)
			(4)

(Kenney and Keeping 1951, p. 164; Rose and Smith 2002, p. 264).

The algebra of deriving equation (4) by hand is rather tedious, but can be performed as follows. Begin by noting that

(5)

so

(6)

The value of  is already known from equation (◇), so it remains only to find . The algebra is simplified considerably by immediately transforming variables to  and performing computations with respect to these central variables. Since the variance does not depend on the mean  of the underlying distribution, the result obtained using the transformed variables will give an identical result while immediately eliminating expectation values of sums of terms containing odd powers of  (which equal 0). To determine , expand equation (6) to obtain

			(7)
			(8)
			(9)
			(10)

Working on the first term of (10),

			(11)
			(12)
			(13)
			(14)

The second term of (◇) is given by

			(15)
			(16)

and the third term by

			(17)
			(18)
			(19)

Plugging (◇)-(19) into (◇) then gives

			(20)
			(21)
			(22)
			(23)

(Kenney and Keeping 1951, p. 164). Plugging (◇) and (23) into (◇) then gives

			(24)
			(25)

as before.

For a normal distribution,  and , so

			(26)
			(27)

The third ane fourth moments of  are given by

			(28)
			(29)

giving the skewness and kurtosis excess of the distribution of the  as

			(30)
			(31)

as computed by Student. Student also conjectured that the underlying distribution is Pearson type III distribution

(32)

where  is the gamma function--a conjecture that was subsequently proven by R. A. Fisher. Curves are illustrated above for  and  varying from  to 10.

REFERENCES:

Kenney, J. F. and Keeping, E. S. Mathematics of Statistics, Pt. 2, 2nd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand, 1951.

Rose, C. and Smith, M. D. Mathematical Statistics with Mathematica. New York: Springer-Verlag, 2002.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يشرع بإدامة شباكين قديمين لمرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام)

فرقة العباس (عليه السلام) تختتم خدماتها المقدمة للزائرين في سامراء

موكب العتبتين المقدستين يحيي ذكرى استشهاد الإمام الهادي (عليه السلام) في سامراء

العتبة العسكرية المقدسة تكرّم وفد العتبة العباسية المقدسة لمشاركته في تقديم الخدمات للزائرين

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد