Given a random variable  and a probability density function , if there exists an  such that

(1)

for , where  denotes the expectation value of , then  is called the moment-generating function.

For a continuous distribution,

			(2)
			(3)
			(4)

where  is the th raw moment.

For independent  and , the moment-generating function satisfies

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)

If  is differentiable at zero, then the th moments about the origin are given by 

			(9)
			(10)
			(11)
			(12)

The mean and variance are therefore

			(13)
			(14)
			(15)
			(16)

It is also true that

(17)

where  and  is the th raw moment.

It is sometimes simpler to work with the logarithm of the moment-generating function, which is also called the cumulant-generating function, and is defined by

			(18)
			(19)
			(20)

But , so

			(21)
			(22)

REFERENCES:

Kenney, J. F. and Keeping, E. S. "Moment-Generating and Characteristic Functions," "Some Examples of Moment-Generating Functions," and "Uniqueness Theorem for Characteristic Functions." §4.6-4.8 in Mathematics of Statistics, Pt. 2, 2nd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 72-77, 1951.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يشرع بإدامة شباكين قديمين لمرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام)

فرقة العباس (عليه السلام) تختتم خدماتها المقدمة للزائرين في سامراء

موكب العتبتين المقدستين يحيي ذكرى استشهاد الإمام الهادي (عليه السلام) في سامراء

العتبة العسكرية المقدسة تكرّم وفد العتبة العباسية المقدسة لمشاركته في تقديم الخدمات للزائرين

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد