x
هدف البحث
بحث في العناوين
بحث في المحتوى
بحث في اسماء الكتب
بحث في اسماء المؤلفين
اختر القسم
موافق
تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Demlo Number
المؤلف: Kaprekar, D. R.
المصدر: "On Wonderful Demlo Numbers." Math. Student 6
الجزء والصفحة: ...
11-1-2021
696
The initially palindromic numbers 1, 121, 12321, 1234321, 123454321, ... (OEIS A002477). For the first through ninth terms, the sequence is given by the generating function
(1) |
(Plouffe 1992, Sloane and Plouffe 1995).
The definition of this sequence is slightly ambiguous from the tenth term on, but the most common convention follows from the following observation. The sequences of consecutive and reverse digits and , respectively, are given by
(2) |
|||
(3) |
for , so the first few Demlo numbers are given by
(4) |
|||
(5) |
But, amazingly, this is just the square of the th repunit , i.e.,
(6) |
for , and the squares of the first few repunits are precisely the Demlo numbers: , , , ... (OEIS A002275 and A002477). It is therefore natural to use (6) as the definition for Demlo numbers with , giving 1, 121, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ....
The equality for also follows immediately from schoolbook multiplication, as illustrated above. This follows from the algebraic identity
(7) |
The sums of digits of the Demlo numbers for are given by
(8) |
More generally, for , 2, ..., the sums of digits are 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 82, 85, 90, 97, 106, ... (OEIS A080151). The values of for which these are square are 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 36, 51, 66, 81, ... (OEIS A080161), corresponding to the Demlo numbers 1, 121, 12321, 1234321, 123454321, 12345654321, 1234567654321, 123456787654321, 12345678987654321, 12345679012345679012345679012345678987654320987654320987654320987654321, ... (OEIS A080162).
REFERENCES:
Kaprekar, D. R. "On Wonderful Demlo Numbers." Math. Student 6, 68-70, 1938.
Plouffe, S. "Approximations de Séries Génératrices et quelques conjectures." Montréal, Canada: Université du Québec à Montréal, Mémoire de Maîtrise, UQAM, 1992.
Sloane, N. J. A. Sequences A002275, A002477/M5386, A080151, A080161, and A080162 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press, 1995.