تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Square Triangular Number
المؤلف:
Allen, B. M.
المصدر:
"Squares as Triangular Numbers." Scripta Math. 20
الجزء والصفحة:
...
21-12-2020
3658
+
-
20
Square Triangular Number
A number which is simultaneously square and triangular. Let 
denote the 
th triangular number and 
the 
th square number, then a number which is both triangular and square satisfies the equation 
, or
 |
(1) |
Completing the square gives
 |
 |
 |
(2) |
 |
 |
 |
(3) |
 |
 |
 |
(4) |
 |
 |
 |
(5) |
Therefore, defining
 |
 |
 |
(6) |
 |
 |
 |
(7) |
gives the Pell equation
 |
(8) |
(Conway and Guy 1996). The first few solutions are 
, (17, 12), (99, 70), (577, 408), .... These give the solutions 
, (8, 6), (49, 35), (288, 204), ... (OEIS A001108 and A001109), corresponding to the triangular square numbers 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, ... (OEIS A001110; Pietenpol 1962). In 1730, Euler showed that there are an infinite number of such solutions (Dickson 2005).
The general formula for a square triangular number 
is 
, where 
is the 
th convergent to the continued fraction of 
(Ball and Coxeter 1987, p. 59; Conway and Guy 1996). The first few are
 |
(9) |
(OEIS A001333 and A000129). The numerators and denominators can also be obtained by doubling the previous fraction and adding to the fraction before that.
A general formula for square triangular numbers is
 |
 |
![[((1+sqrt(2))^(2n)-(1-sqrt(2))^(2n))/(4sqrt(2))]^2](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/SquareTriangularNumber/Inline33.gif) |
(10) |
 |
 |
![1/(32)[(17+12sqrt(2))^n+(17-12sqrt(2))^n-2].](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/SquareTriangularNumber/Inline36.gif) |
(11) |
The square triangular numbers also satisfy the recurrence relation
 |
(12) |
A second-order recurrence for 
is given by
 |
(13) |
with 
and 
. A first-order recurrence equation is given by
 |
(14) |
(M. Carreira, pers. comm., Sept. 29, 2003).
A curious product formula for 
is given by
![ST_n=2^(2n-5)product_(k=1)^(2n)[3+cos((kpi)/n)].](https://mathworld.wolfram.com/images/equations/SquareTriangularNumber/NumberedEquation7.gif) |
(15) |
An amazing generating function is
 |
(16) |
(Sloane and Plouffe 1995).
Taking the square and triangular numbers together gives the sequence 1, 1, 3, 4, 6, 9, 10, 15, 16, 21, 25, ... (OEIS A005214; Hofstadter 1996, p. 15).
REFERENCES:
Allen, B. M. "Squares as Triangular Numbers." Scripta Math. 20, 213-214, 1954.
Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, 1987.
Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 203-205, 1996.
Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis. New York: Dover, pp. 10, 16, and 27, 2005.
Guy, R. K. "Sums of Squares" and "Figurate Numbers." §C20 and §D3 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 136-138 and 147-150, 1994.
Hofstadter, D. R. Fluid Concepts & Creative Analogies: Computer Models of the Fundamental Mechanisms of Thought. New York: Basic Books, 1996.
Khatri, M. N. "Triangular Numbers Which are Also Squares." Math. Student 27, 55-56, 1959.
Pietenpol, J. L. "Square Triangular Numbers." Problem E 1473. Amer. Math. Monthly 69, 168-169, 1962.
Potter, D. C. D. "Triangular Square Numbers." Math. Gaz. 56, 109-110, 1972.
Sengupta, D. "Digits in Triangular Squares." College Math. J. 30, 31, 1999.
Sierpiński, W. Teoria Liczb, 3rd ed. Warsaw, Poland: Monografie Matematyczne t. 19, p. 517, 1950.
Sierpiński, W. "Sur les nombres triangulaires carrés." Pub. Faculté d'Électrotechnique l'Université Belgrade, No. 65, 1-4, 1961.
Sierpiński, W. "Sur les nombres triangulaires carrés." Bull. Soc. Royale Sciences Liège, 30 ann., 189-194, 1961.
Silverman, J. H. A Friendly Introduction to Number Theory. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1996.
Sloane, N. J. A. Sequences A000129/M1413, A001333/M2665, A001108/M4536, A001109/M4217, and A001110/M5259 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press, 1995.
Walker, G. W. "Triangular Squares." Problem E 954. Amer. Math. Monthly 58, 568, 1951.
الاكثر قراءة في نظرية الاعداد
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
الآخبار الصحية
قسم الشؤون الفكرية يصدر كتاباً يوثق تاريخ السدانة في العتبة العباسية المقدسة
"المهمة".. إصدار قصصي يوثّق القصص الفائزة في مسابقة فتوى الدفاع المقدسة للقصة القصيرة
(نوافذ).. إصدار أدبي يوثق القصص الفائزة في مسابقة الإمام العسكري (عليه السلام)
