Let  denote the th hexagonal number and  the th square number, then a number which is both hexagonal and square satisfies the equation , or

(1)

Completing the square and rearranging gives

(2)

Therefore, defining

			(3)
			(4)

gives the Pell equation

(5)

The first few solutions are , (17, 12), (99, 70), (577, 408), .... These give the solutions , (9/2, 6), (25, 35), (289/2, 204), ..., giving the integer solutions (1, 1), (25, 35), (841, 1189), (28561, 40391), ... (OEIS A008844 and A046176). The corresponding hexagonal square numbers are 1, 1225, 1413721, 1631432881, 1882672131025, ... (OEIS A046177).

Closed-form solutions are

			(6)
		{1+1/2[(3-2sqrt(2))^(2k+1)+(3+2sqrt(2))^(2k+1)]}," src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/HexagonalSquareNumber/Inline19.gif" style="height:25px; width:260px" />	(7)

giving the th hexagonal square number as

(8)

A recurrence relation for  is given by

(9)

with , where  (M. Carreira, pers. comm., Sept. 11, 2004).

REFERENCES:

Sloane, N. J. A. Sequences A008844, A046176, and A046177 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يشرع بإدامة شباكين قديمين لمرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام)

فرقة العباس (عليه السلام) تختتم خدماتها المقدمة للزائرين في سامراء

موكب العتبتين المقدستين يحيي ذكرى استشهاد الإمام الهادي (عليه السلام) في سامراء

العتبة العسكرية المقدسة تكرّم وفد العتبة العباسية المقدسة لمشاركته في تقديم الخدمات للزائرين

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد