x
هدف البحث
بحث في العناوين
بحث في المحتوى
بحث في اسماء الكتب
بحث في اسماء المؤلفين
اختر القسم
موافق
تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Highly Composite Number
المؤلف: Alaoglu, L. and Erdős, P.
المصدر: "On Highly Composite and Similar Numbers." Trans. Amer. Math. Soc. 56
الجزء والصفحة: ...
25-11-2020
1604
Highly composite numbers are numbers such that divisor function (i.e., the number of divisors of ) is greater than for any smaller . Superabundant numbers are closely related to highly composite numbers, and the first 19 superabundant and highly composite numbers are the same.
There are an infinite number of highly composite numbers, and the first few are 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, ... (OEIS A002182). The corresponding numbers of divisors are 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 32, ... (OEIS A002183). Ramanujan (1915) listed 102 highly composite numbers up to 6746328388800, but omitted 293318625600. Robin (1983) gives the first 5000 highly composite numbers, and a comprehensive survey is given by Nicholas (1988). Flammenkamp gives a list of the first 779674 highly composite numbers.
If
(1) |
is the prime factorization of a highly composite number, then
1. The primes 2, 3, ..., form a string of consecutive primes,
2. The exponents are nonincreasing, so , and
3. The final exponent is always 1, except for the two cases and , where it is 2.
Let be the number of highly composite numbers . Ramanujan (1915) showed that
(2) |
Alaoglu and Erdős (1944) showed that there exists a constant such that
(3) |
Nicholas proved that there exists a constant such that
(4) |
REFERENCES:
Alaoglu, L. and Erdős, P. "On Highly Composite and Similar Numbers." Trans. Amer. Math. Soc. 56, 448-469, 1944.
Andree, R. V. "Ramanujan's Highly Composite Numbers." Abacus 3, 61-62, 1986.
Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, p. 53, 1994.
Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, p. 323, 2005.
Flammenkamp, A. "Highly Composite Numbers." https://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/highly.html.
Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, pp. 88-91, 1998.
Honsberger, R. Mathematical Gems I. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 112, 1973.
Honsberger, R. "An Introduction to Ramanujan's Highly Composite Numbers." Ch. 14 in Mathematical Gems III. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 193-207, 1985.
Kanigel, R. The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan. New York: Washington Square Press, p. 232, 1991.
Nicholas, J.-L. "On Highly Composite Numbers." In Ramanujan Revisited: Proceedings of the Centenary Conference, University of Illinois at Urbana-Champaign, June 1-5, 1987 (Ed. G. E. Andrews, B. C. Berndt, and R. A. Rankin). Boston, MA: Academic Press, pp. 215-244, 1988.
Ramanujan, S. "Highly Composite Numbers." Proc. London Math. Soc. 14, 347-409, 1915.
Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.
Robin, G. "Méthodes d'optimalisation pour un problème de théories des nombres." RAIRO Inform. Théor. 17, 239-247, 1983.
Séroul, R. "Highly Composite Numbers." §8.14 in Programming for Mathematicians. Berlin: Springer-Verlag, pp. 208-213, 2000.
Siano, D. "Highly Composite Numbers: How Can We Calculate Them?" https://www.eclipse.net/~dimona/juliannum.html.
Siano, D. B. and Siano, J. D. "An Algorithm for Generating Highly Composite Numbers." https://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/julianmanuscript3.pdf. October 7, 1994.
Sloane, N. J. A. Sequences A002182/M1025 and A002183/M0546 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. New York: Penguin Books, p. 128, 1986.