A sum-product number is a number  such that the sum of 's digits times the product of 's digit is  itself, for example

(1)

Obviously, such a number must be divisible by its digits as well as the sum of its digits. There are only three sum-product numbers: 1, 135, and 144 (OEIS A038369). This can be demonstrated using the following argument due to D. Wilson.

Let  be a -digit sum-product number, and let  and  be the sum and product of its digits. Because  is a -digit number, we have

(2)

Now, since  is a sum-product number, we have , giving

(3)

The inequality  is fulfilled only by , so a sum-product number has at most 84 digits.

This gives

(4)

Now, since  is a product of digits,  must be of the form . However, if 10 divides , then it also divides . This means that  ends in 0 so the product of its digit is , giving . Hence we need not consider  divisible by 10, and can assume  is either of the form  or . This reduces the search space for sum-product numbers to a tractable size, and allowed Wilson to verify that there are no further sum-product numbers.

The following table summarizes near misses up to , where  is the sum and  the product of decimal digits of .

	OEIS
0	A038369	1, 135, 144
1		13, 91, 1529
2		2, 32, 418, 3572, 32398, 66818, 1378946, ...
3		219, 6177, 35277, 29859843, ...
4		724, 1628, 5444, 437476, 1889285, 3628795, ...
5		1285, 3187, 12875, 124987, 437467, 1889285, 3628795, ...
6		3, 12, 14, 22, 42, 182, 1356, 1446, 7932, 18438, 25926, 29859834, ...
7		23, 3463, 8633, 58247, 29719879, ...
8		7789816, ...
9		11, 81, 5871, 58329, ...

The smallest values of  whose sum-product differs from  by 0, 1, 2, ... are 1, 13, 2, 219, 724, 1285, 3, 23, 7789816, ... (OEIS A114457). The first unknown value occurs for , which must be greater than  (E. W. Weisstein, Jan. 31, 2006).

REFERENCES:

Sloane, N. J. A. Sequences A038369 and A114457 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يشرع بإدامة شباكين قديمين لمرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام)

فرقة العباس (عليه السلام) تختتم خدماتها المقدمة للزائرين في سامراء

موكب العتبتين المقدستين يحيي ذكرى استشهاد الإمام الهادي (عليه السلام) في سامراء

العتبة العسكرية المقدسة تكرّم وفد العتبة العباسية المقدسة لمشاركته في تقديم الخدمات للزائرين

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد