A rational amicable pair consists of two integers  and  for which the divisor functions are equal and are of the form

(1)

where  and  are bivariate polynomials, and for which the following properties hold (Y. Kohmoto):

1. All the degrees of terms of the numerator of the right fraction are the same.

2. All the degrees of terms of the denominator of the right fraction are the same.

3. The degree of  is one greater than the degree of .

If  and  is of the form , then (◇) reduces to the special case

(2)

so if  is an integer, then  is a multiperfect number.

Consider polynomials of the form

(3)

For , (◇) reduces to

(4)

of which no examples are known. For , (◇) reduces to

(5)

so  form an amicable pair. For , (◇) becomes

(6)

Kohmoto has found three classes of solutions of this type. The first is

(7)

where  is a Mersenne prime with , giving (26403469440047700, 30193441130006700), (7664549986025275200, 8764724625167659200), ... (OEIS A038362 and A038363). The second set of solutions is

(8)

where , giving the solution

(9)

The third type is the unique solution

(10)

(11)

Considering polynomials of the more general form

(12)

Kohmoto has found the  solution

(13)

for  the index of a Mersenne prime with the exceptions of  and 3.

Kohmoto (pers. comm., Feb. 2004) also found the  solution

(14)

for  the index of a Mersenne prime with the exceptions of .

Considering polynomials of the form

(15)

for , Kohmoto has found the solution

(16)

Considering polynomials of the form

(17)

or equivalently,

(18)

Kohmoto has found the solutions listed in the following table.

6	(1537536, 2269696)
8	(22405565952, 21500290560)
9	(8509664043532288000, 5783455883132928000)

REFERENCES:

Sloane, N. J. A. Sequences A038362 and A038363 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يشرع بإدامة شباكين قديمين لمرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام)

فرقة العباس (عليه السلام) تختتم خدماتها المقدمة للزائرين في سامراء

موكب العتبتين المقدستين يحيي ذكرى استشهاد الإمام الهادي (عليه السلام) في سامراء

العتبة العسكرية المقدسة تكرّم وفد العتبة العباسية المقدسة لمشاركته في تقديم الخدمات للزائرين

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد