The von Staudt-Clausen theorem, sometimes also known as the Staudt-Clausen theorem (Carlitz 1968), states that

(1)

where  is a Bernoulli number,  is an integer, and the s are the primes satisfying , i.e.,  divides .

For example, for , the primes included in the sum are 2 and 3, since  and , giving

(2)

Similarly, for , the included primes are (2, 3, 5, 7, 13), since (1, 2, 4, 6, 12) divide , giving

(3)

The first few values of  for , 2, ... are 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, , 56, , ... (OEIS A000146), and the lists of primes appearing in successive sums are 2, 3; 2, 3, 5; 2, 3, 7; 2, 3, 5; 2, 3, 11; ... (OEIS A080092).

The theorem was rediscovered by Ramanujan (Hardy 1999, p. 11) and can be proved using p-adic Numbers.

REFERENCES:

Carlitz, L. "Bernoulli Numbers." Fib. Quart. 6, 71-85, 1968.

Clausen, T. "Theorem." Astron. Nach. 17, 351-352, 1840.

Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, p. 109, 1996.

Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.

Hardy, G. H. and Wright, E. M. "The Theorem of von Staudt" and "Proof of von Staudt's Theorem." §7.9-7.10 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 90-93, 1979.

Rado, R. "A New Proof of a Theorem of V. Staudt." J. London Math. Soc. 9, 85-88, 1934.

Rado, R. "A Note on the Bernoullian Numbers." J. London Math. Soc. 9, 88-90, 1934.

Sloane, N. J. A. Sequences A000146/M1717 and A080092 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Staudt, K. G. C. von. "Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend." J. reine angew. Math. 21, 372-374, 1840.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مجموعة العميد التربوية تعقد اجتماعًا لمناقشة الاستعدادات الخاصة بالموسم التدريبي الصيفي

قسم الإعلام ينظم ورشة تدريبية حول تطبيق (إعلامي) لعدد من منتسبي قسم حفظ النظام

قسم الشؤون الخدمية ينفذ حملة لتنظيف الشوارع المحيطة بصحن مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

وفد العتبة العباسية المقدسة يزور شعبة الإعداد البدني للاطّلاع على برنامج تأهيل المنتسبين الجدد

المزيد

الآخبار الصحية

ماذا يحدث إذا تناولنا الطعام مرة واحدة فقط في اليوم

اكتشاف عوامل خطر غير متوقعة لمرض الكبد الدهني

فيروس هانتا والسفينة الموبوءة.. تحديث من الصحة العالمية

طبيب يحسم الجدل السجائر الإلكترونية وعلاقتها بالسرطان

المزيد

الآخبار التكنلوجية

لأول مرة في الولايات المتحدة.. تشغيل مفاعل مصغر نووي يغذي الذكاء الاصطناعي بالطاقة

الكشف عن تفاصيل أول عملية ناجحة لاستعادة انتاج الحيوانات المنوية

أطلس يكشف خفايا الجسم البشري بدقة أرفع بـ50 مرة من شعر الإنسان

المتحف المصري الكبير يتحول إلى "أيقونة خضراء" بدعم ياباني

المزيد