A Lambert series is a series of the form

(1)

for . Then

			(2)
			(3)

where

(4)

The particular case  is sometimes denoted

			(5)
			(6)
			(7)

for  (Borwein and Borwein 1987, pp. 91 and 95), where  is a q-polygamma function. Special cases and related sums include

			(8)
			(9)
			(10)
			(11)
			(12)

(Borwein and Borwein 1997, pp. 91-92), which arise in the reciprocal Fibonacci and reciprocal Lucas constants.

Some beautiful series of this type include

			(13)
			(14)
			(15)
			(16)
			(17)
			(18)
			(19)
			(20)
			(21)
			(22)

where  is the Möbius function,  is the totient function,  is the number of divisors of ,  is the q-polygamma function,  is the divisor function,  is the number of representations of  in the form  where  and  are rational integers (Hardy and Wright 1979),  is a Jacobi elliptic function (Bailey et al. 2006),  is the Liouville function, and  is the least significant bit of .

REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Number Theoretic Functions." §24.3.1 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 826-827, 1972.

Apostol, T. M. Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 24-15, 1997.

Arndt, J. "On Computing the Generalized Lambert Series." 24 Jun 2012. https://arxiv.org/abs/1202.6525.

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Kapoor, V.; and Weisstein, E. W. "Ten Problems in Experimental Mathematics." Amer. Math. Monthly 113, 481-509, 2006.

Borwein, J. M. and Borwein, P. B. "Evaluation of Sums of Reciprocals of Fibonacci Sequences." §3.7 in Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 91-101, 1987.

Erdős, P. "On Arithmetical Properties of Lambert Series." J. Indian Math. Soc. 12, 63-66, 1948.

Hardy, G. H. and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 257-258, 1979.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مجموعة العميد التربوية تعقد اجتماعًا لمناقشة الاستعدادات الخاصة بالموسم التدريبي الصيفي

قسم الإعلام ينظم ورشة تدريبية حول تطبيق (إعلامي) لعدد من منتسبي قسم حفظ النظام

قسم الشؤون الخدمية ينفذ حملة لتنظيف الشوارع المحيطة بصحن مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

وفد العتبة العباسية المقدسة يزور شعبة الإعداد البدني للاطّلاع على برنامج تأهيل المنتسبين الجدد

المزيد

الآخبار الصحية

ماذا يحدث إذا تناولنا الطعام مرة واحدة فقط في اليوم

اكتشاف عوامل خطر غير متوقعة لمرض الكبد الدهني

فيروس هانتا والسفينة الموبوءة.. تحديث من الصحة العالمية

طبيب يحسم الجدل السجائر الإلكترونية وعلاقتها بالسرطان

المزيد

الآخبار التكنلوجية

لأول مرة في الولايات المتحدة.. تشغيل مفاعل مصغر نووي يغذي الذكاء الاصطناعي بالطاقة

الكشف عن تفاصيل أول عملية ناجحة لاستعادة انتاج الحيوانات المنوية

أطلس يكشف خفايا الجسم البشري بدقة أرفع بـ50 مرة من شعر الإنسان

المتحف المصري الكبير يتحول إلى "أيقونة خضراء" بدعم ياباني

المزيد