تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Divisor Product
المؤلف:
Dickson, L. E.
المصدر:
History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover
الجزء والصفحة:
...
14-8-2020
3441
+
-
20
Divisor Product
By analogy with the divisor function 
, let
 |
(1) |
denote the product of the divisors 
of 
(including 
itself). For 
, 2, ..., the first few values are 1, 2, 3, 8, 5, 36, 7, 64, 27, 100, 11, 1728, 13, 196, ... (OEIS A007955).
The divisor product satisfies the identity
 |
(2) |
The following table gives values of 
for which 
is a 
th power. Lionnet (1879) considered the case 
.
 |
OEIS |  |
| 2 | A048943 | 1, 6, 8, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 24, 26, ... |
| 3 | A048944 | 1, 4, 8, 9, 12, 18, 20, 25, 27, 28, 32, ... |
| 4 | A048945 | 1, 24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, ... |
| 5 | A048946 | 1, 16, 32, 48, 80, 81, 112, 144, 162, ... |
Write the prime factorization of a number 
,
 |
(3) |
Then the power of 
occurring in 
is
 |
(4) |
(Kaplansky 1999). This allows rules for determining when 
is a power of 
to be determined, as considered by Halcke (1719) and Lionnet (1879). Let 
, 
, and 
be distinct primes, then the following table gives the conditions and first few 
for which 
is a given power 
of 
(Ireland and Rosen 1990, Kaplansky 1999, Dickson 2005). The case of third powers corresponds to numbers having exactly six divisors, the case of forth powers to numbers having eight divisors, and so on.
 |
forms | Sloane |  |
| 2 |  ,  |
A007422 | 6, 8, 10, 14, 15, 21, 22, ... |
| 3 |  ,  |
A030515 | 12, 18, 20, 28, 32, 44, ... |
| 4 |  ,  ,  |
A030626 | 24, 30, 40, 42, 54, 56, ... |
| 5 |  ,  |
A030628 | 48, 80, 112, 162, 176, ... |
REFERENCES:
Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, p. 58, 2005.
Halcke, P. Exs. 150-152 in Deliciae Mathematicae; oder, Mathematisches sinnen-confect. Hamburg, Germany: N. Sauer, p. 197, 1719.
Ireland, K. and Rosen, M. A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, p. 19, 1990.
Kaplansky, I. "The First Two Chapters of Dickson's History." Unpublished manuscript, Apr. 1999.
Lionnet, E. "Note sur les nombres parfaits." Nouv. Ann. Math. 18, 306-308, 1879.
Lucas, E. Ex. 6 in Théorie des nombres. Paris: Gauthier-Villars, p. 373, 1891.
Sloane, N. J. A. Sequences A000040/M0652, A007422/M4068, A007955, A030515, A030626, A030628, A048943, A048944, A048945, and A048946 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Smarandache, F. Only Problems, Not Solutions!, 4th ed. Phoenix, AZ: Xiquan, 1993.
الاكثر قراءة في نظرية الاعداد
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
الآخبار الصحية
قسم الشؤون الفكرية يصدر كتاباً يوثق تاريخ السدانة في العتبة العباسية المقدسة
"المهمة".. إصدار قصصي يوثّق القصص الفائزة في مسابقة فتوى الدفاع المقدسة للقصة القصيرة
(نوافذ).. إصدار أدبي يوثق القصص الفائزة في مسابقة الإمام العسكري (عليه السلام)
