Let the divisor function  be the number of divisors of  (including  itself). For a prime , . In general,

where  is the Euler-Mascheroni constant. Dirichlet originally gave  (Hardy and Wright 1979, p. 264; Hardy 1999, pp. 67-68), and Hardy and Landau showed in 1916 that  (Hardy 1999, p. 81). The following table summarizes incremental progress on the upper limit (updating Hardy 1999, p. 81).

	approx.	citation
1/2	0.50000	Dirichlet
1/3	0.33333	Voronoi (1903), Sierpiński (1906), van der Corput (1923)
37/112	0.33036	Littlewood and Walfisz (1925)
33/100	0.33000	van der Corput (1922)
27/82	0.32927	van der Corput (1928)
15/46	0.32609
12/37	0.32432	Chen (1963), Kolesnik (1969)
35/108	0.32407	Kolesnik (1982)
139/429	0.32401	Kolesnik
17/53	0.32075	Vinogradov (1935)
7/22	0.31818	Iwaniec and Mozzochi (1988)
23/73	0.31507	Huxley (1993)
131/416	0.31490	Huxley (2003)

REFERENCES:

Bohr, H. and Cramér, H. "Ellipsoidprobleme." In "Die neuere Entwicklung der analytischen Zahlentheorie." Ch. IIC88 in Enzykl. d. Math. Wiss., Vol. 2, Part 3, Issue 2 II C 8, 823-824, 1922.

Chen, J.-R. "The Lattice-Points in a Circle." Sci. Sinica 12, 633-649, 1963.

Graham, S. W. and Kolesnik, G. Van Der Corput's Method of Exponential Sums. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1991.

Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.

Hardy, G. H. and Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, 1979.

Huxley, M. N. "Exponential Sums and Lattice Points." Proc. London Math. Soc. 60, 471-502, 1990.

Huxley, M. N. "Corrigenda: 'Exponential Sums and Lattice Points.' " Proc. London Math. Soc. 66, 70, 1993.

Huxley, M. N. "Exponential Sums and Lattice Points. II." Proc. London Math. Soc. 66, 279-301, 1993.

Huxley, M. N. "Exponential Sums and Lattice Points III." Proc. London Math. Soc. 87, 5910-609, 2003.

Iwaniec, H. and Mozzochi, C. J. "On the Divisor and Circle Problem." J. Numb. Th. 29, 60-93, 1988.

Kolesnik, G. A. "An Improvement of the Remainder Term in the Divisor Problem." Mat. Zametki 6, 545-554, 1969. English translation in Math. Notes 6, 784-791, 1969.

Kolesnik, G. "On the Order of  and ." Pacific J. Math. 98, 107-122, 1982.

Littlewood, J. E. and Walfisz, A. "The Lattice Points of a Circle. (With a Note by Prof. E. Landau.)." Proc. Roy. Soc. London (A) 106, 478-488, 1925.

van der Corput, J. G. "Zum Teilerproblem." Math. Ann. 98, 697-716, 1928.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مجموعة العميد التربوية تعقد اجتماعًا لمناقشة الاستعدادات الخاصة بالموسم التدريبي الصيفي

قسم الإعلام ينظم ورشة تدريبية حول تطبيق (إعلامي) لعدد من منتسبي قسم حفظ النظام

قسم الشؤون الخدمية ينفذ حملة لتنظيف الشوارع المحيطة بصحن مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

وفد العتبة العباسية المقدسة يزور شعبة الإعداد البدني للاطّلاع على برنامج تأهيل المنتسبين الجدد

المزيد

الآخبار الصحية

ماذا يحدث إذا تناولنا الطعام مرة واحدة فقط في اليوم

اكتشاف عوامل خطر غير متوقعة لمرض الكبد الدهني

فيروس هانتا والسفينة الموبوءة.. تحديث من الصحة العالمية

طبيب يحسم الجدل السجائر الإلكترونية وعلاقتها بالسرطان

المزيد

الآخبار التكنلوجية

لأول مرة في الولايات المتحدة.. تشغيل مفاعل مصغر نووي يغذي الذكاء الاصطناعي بالطاقة

الكشف عن تفاصيل أول عملية ناجحة لاستعادة انتاج الحيوانات المنوية

أطلس يكشف خفايا الجسم البشري بدقة أرفع بـ50 مرة من شعر الإنسان

المتحف المصري الكبير يتحول إلى "أيقونة خضراء" بدعم ياباني

المزيد