Ramanujan developed a number of interesting closed-form expressions for generalized continued fractions. These include the almost integers

			(1)
			(2)
			(3)

(OEIS A091667; Watson 1929, 1931; Hardy 1999, p. 8), where  is the golden ratio, its multiplicative inverse

			(4)
			(5)
			(6)

(OEIS A091899; Ramanathan 1984), and

		{(sqrt(5))/(1+[5^(3/4)(phi-1)^(5/2)-1]^(1/5))-phi}e^(2pi/sqrt(5))" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/RamanujanContinuedFractions/Inline22.gif" style="height:48px; width:233px" />	(7)
			(8)

(OEIS A091668; Watson 1929, 1931; Ramanathan 1984; Berndt and Rankin 1995, p. 57; Hardy 1999, p. 8) and its multiplicative inverse

			(9)
			(10)

(OEIS A091900).

Other examples include the integrals

			(11)
			(12)
			(13)
			(14)

(OEIS A091659; Preece 1931; Perron 1953; Berndt and Rankin 1995, pp. 57 and 65; Hardy 1999, p. 8), where  is the Hurwitz zeta function and  is the trigamma function, and

			(15)
			(16)
			(17)

(OEIS A091660; Preece 1931; Perron 1953; Berndt and Rankin 1995, pp. 57 and 65), where  is a polygamma function.

REFERENCES:

Berndt, B. C. and Rankin, R. A. Ramanujan: Letters and Commentary. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1995.

Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.

Perron, O. "Über die Preeceschen Kettenbrüche." Sitz. Bayer. Akad. Wiss. München Math. Phys. Kl., 21-56, 1953.

Preece, C. T. "Theorems Stated by Ramanujan (X)." J. London Math. Soc. 6, 22-32, 1931.

Ramanathan, K. G. "On Ramanujan's Continued Fraction." Acta. Arith. 43, 209-226, 1984.

Sloane, N. J. A. Sequences A091659, A091660, A091667, A091668, A091899, and A091900 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (VII): Theorems on a Continued Fraction." J. London Math. Soc. 4, 39-48, 1929.

Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (IX): Two Continued Fractions." J. London Math. Soc. 4, 231-237, 1929.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مستشفى الكفيل يدخل قائمة الاعتماد الدولية بجودة الخدمة وسلامة المرضى

جامعة العميد تقيم ورشة عمل تدريبية في مجال التعليم الطبي الحديث

سماحة السيد الصافي يدعو إلى الاستمرار في تحقيق تراث العلماء الأعلام وتسليط الضوء على فكرهم

شعبة الخطابة الحسينية تختتم الموسم الثامن من مشروع الدورات الصيفية في كربلاء

المزيد

الآخبار الصحية

الأطعمة الحارة.. "سر صغير" يغير صحة قلبك وعقلك

وباء صامت.. الملايين حول العالم مصابون بالسكري دون أن يعلموا !

لماذا ينصح بتناول تفاحة يوميا؟

8 فواكه طبيعية تمنحك نوما هنيئا.. وتخلصك من الأرق

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ثلاث علامات على وجود مشاكل خطيرة في محرك السيارة ؟

ماذا نعرف عن اللقاح الروسي ضد السرطان؟

مركبة فضاء تعثر على دليل عن وجود حياة قديمة على المريخ

لتدريب الذكاء الاصطناعي.. الصين تخطط لإنشاء شبكة حوسبة موحدة

المزيد