Ramanujan developed a number of interesting closed-form expressions for generalized continued fractions. These include the almost integers

			(1)
			(2)
			(3)

(OEIS A091667; Watson 1929, 1931; Hardy 1999, p. 8), where  is the golden ratio, its multiplicative inverse

			(4)
			(5)
			(6)

(OEIS A091899; Ramanathan 1984), and

		{(sqrt(5))/(1+[5^(3/4)(phi-1)^(5/2)-1]^(1/5))-phi}e^(2pi/sqrt(5))" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/RamanujanContinuedFractions/Inline22.gif" style="height:48px; width:233px" />	(7)
			(8)

(OEIS A091668; Watson 1929, 1931; Ramanathan 1984; Berndt and Rankin 1995, p. 57; Hardy 1999, p. 8) and its multiplicative inverse

			(9)
			(10)

(OEIS A091900).

Other examples include the integrals

			(11)
			(12)
			(13)
			(14)

(OEIS A091659; Preece 1931; Perron 1953; Berndt and Rankin 1995, pp. 57 and 65; Hardy 1999, p. 8), where  is the Hurwitz zeta function and  is the trigamma function, and

			(15)
			(16)
			(17)

(OEIS A091660; Preece 1931; Perron 1953; Berndt and Rankin 1995, pp. 57 and 65), where  is a polygamma function.

REFERENCES:

Berndt, B. C. and Rankin, R. A. Ramanujan: Letters and Commentary. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1995.

Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.

Perron, O. "Über die Preeceschen Kettenbrüche." Sitz. Bayer. Akad. Wiss. München Math. Phys. Kl., 21-56, 1953.

Preece, C. T. "Theorems Stated by Ramanujan (X)." J. London Math. Soc. 6, 22-32, 1931.

Ramanathan, K. G. "On Ramanujan's Continued Fraction." Acta. Arith. 43, 209-226, 1984.

Sloane, N. J. A. Sequences A091659, A091660, A091667, A091668, A091899, and A091900 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (VII): Theorems on a Continued Fraction." J. London Math. Soc. 4, 39-48, 1929.

Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (IX): Two Continued Fractions." J. London Math. Soc. 4, 231-237, 1929.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يشرع بإدامة شباكين قديمين لمرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام)

فرقة العباس (عليه السلام) تختتم خدماتها المقدمة للزائرين في سامراء

موكب العتبتين المقدستين يحيي ذكرى استشهاد الإمام الهادي (عليه السلام) في سامراء

العتبة العسكرية المقدسة تكرّم وفد العتبة العباسية المقدسة لمشاركته في تقديم الخدمات للزائرين

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد