The Gauss-Kuzmin distribution is the distribution of occurrences of a positive integer  in the continued fraction of a random (or "generic") real number.

Consider  defined for a real number  by

			(1)
			(2)

so  is the fractional part of . This can be defined recursively through

(3)

and

(4)

with  and  simply the th term of the continued fraction .

The distribution  was considered by Gauss in a letter to Laplace dated January 30, 1812. In this letter, Gauss said that he could prove by a simple argument that if , sometimes denoted  (Havil 2003, p. 156), is the probability that  for a random , then

(5)

(Rockett and Szüsz 1992, pp. 151-152; Knuth 1998, p. 341; Havil 2003, p. 157). Histograms of  are illustrated above for 5000 terms of , the Euler-Mascheroni constant , Catalan's constant , and the natural logarithm of 2 .

However, Gauss was unable to describe the behavior of the correction term in

(6)

Kuz'min (1928) published the first analysis of the asymptotic behavior of , obtaining

(7)

with . Using a different method, Lévy (1929) obtained

(8)

with . Wirsing (1974) subsequently showed, among other results, that

(9)

where  is a constant known as Gauss-Kuzmin-Wirsing constant and  is an analytic function with .

It follows from Gauss's result that

			(10)
			(11)

(Bailey et al. 1997; Havil 2003, p. 158), where  and "Kuzmin" is sometimes also written as "Kuz'min." The plot above shows the distribution of the first 500 terms in the continued fractions of , , the Euler-Mascheroni constant , and the Copeland-Erdős constant . The distribution is properly normalized, since

(12)

REFERENCES:

Babenko, K. I. "On a Problem of Gauss." Soviet Math. Dokl. 19, 136-140, 1978.

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; and Crandall, R. E. "On the Khintchine Constant." Math. Comput. 66, 417-431, 1997.

Daudé, H.; Flajolet, P.; and Vallé, B. "An Average-Case Analysis of the Gaussian Algorithm for Lattice Reduction." Combin. Probab. Comput. 6, 397-433, 1997.

Durner, A. "On a Theorem of Gauss-Kuzmin-Lévy." Arch. Math. 58, 251-256, 1992.

Finch, S. R. "Gauss-Kuzmin-Wirsing Constant." §2.17 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 151-156, 2003.

Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 155-159, 2003.

Khinchin, A. Ya. "Gauss's Problem and Kuz'min's Theorem." §15 in Continued Fractions. New York: Dover, pp. 71-86, 1997.

Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1998.

Kuz'min, R. O. "A Problem of Gauss." Dokl. Akad. Nauk, Ser. A, 375-380, 1928.

Kuz'min, R. O. "Sur un problème de Gauss." Anni Congr. Intern. Bologne 6, 83-89, 1928.

Lévy, P. "Sur les lois de probabilité dont dependent les quotients complets et incomplets d'une fraction continue." Bull. Soc. Math. France 57, 178-194, 1929.

Lévy, P. "Sur les lois de probabilité dont dependent les quotients complets et incomplets d'une fraction continue." Bull. Soc. Math. France 57, 178-194, 1929.

Rockett, A. M. and Szüsz, P. "The Gauss-Kuzmin Theorem." §5.5 in Continued Fractions. New York: World Scientific, pp. 151-155, 1992.

Wirsing, E. "On the Theorem of Gauss-Kuzmin-Lévy and a Frobenius-Type Theorem for Function Spaces." Acta Arith. 24, 507-528, 1974.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يشرع بإدامة شباكين قديمين لمرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام)

فرقة العباس (عليه السلام) تختتم خدماتها المقدمة للزائرين في سامراء

موكب العتبتين المقدستين يحيي ذكرى استشهاد الإمام الهادي (عليه السلام) في سامراء

العتبة العسكرية المقدسة تكرّم وفد العتبة العباسية المقدسة لمشاركته في تقديم الخدمات للزائرين

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد