Let  be the Riemann-Siegel function. The unique value  such that

(1)

where , 1, ... is then known as a Gram point (Edwards 2001, pp. 125-126).

An excellent approximation for Gram point  can be obtained by using the first few terms in the asymptotic expansion for  and inverting to obtain

(2)

where  is the Lambert W-function. This approximation gives as error of  for , decreasing to  by .

The following table gives the first few Gram points.

	OEIS
0	A114857	17.8455995404
1	A114858	23.1702827012
2		27.6701822178
3		31.7179799547
4		35.4671842971
5		38.9992099640
6		42.3635503920
7		45.5930289815
8		48.7107766217
9		51.7338428133
10		54.6752374468

The integers closest to these points are 18, 23, 28, 32, 35, 39, 42, 46, 49, 52, 55, 58, ... (OEIS A002505).

There is a unique point at which , given by the solution to the equation

(3)

and having numerical value

(4)

(OEIS A114893).

It is usually the case that . Values of  for which this does not hold are , 134, 195, 211, 232, 254, 288, ... (OEIS A114856), the first two of which were found by Hutchinson (1925).

REFERENCES:

Edwards, H. M. Riemann's Zeta Function. New York: Dover, 2001.

Gram, J.-P. "Sur les zéros de la fonction  de Riemann." Acta Math. 27, 289-304, 1903.

Haselgrove, C. B. and Miller, J. C. P. "Tables of the Riemann Zeta Function." Royal Society Mathematical Tables, Vol. 6. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 58, 1960.

Hutchinson, J. I. "On the Roots of the Riemann Zeta-Function." Trans. Amer. Math. Soc. 27, 49-60, 1925.

Sloane, N. J. A. Sequences A002505/M5052, A114856, A114857, A114858, and A114893 Sloane, N. J. A. Sequences

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مجموعة العميد التربوية تعقد اجتماعًا لمناقشة الاستعدادات الخاصة بالموسم التدريبي الصيفي

قسم الإعلام ينظم ورشة تدريبية حول تطبيق (إعلامي) لعدد من منتسبي قسم حفظ النظام

قسم الشؤون الخدمية ينفذ حملة لتنظيف الشوارع المحيطة بصحن مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

وفد العتبة العباسية المقدسة يزور شعبة الإعداد البدني للاطّلاع على برنامج تأهيل المنتسبين الجدد

المزيد

الآخبار الصحية

ماذا يحدث إذا تناولنا الطعام مرة واحدة فقط في اليوم

اكتشاف عوامل خطر غير متوقعة لمرض الكبد الدهني

فيروس هانتا والسفينة الموبوءة.. تحديث من الصحة العالمية

طبيب يحسم الجدل السجائر الإلكترونية وعلاقتها بالسرطان

المزيد

الآخبار التكنلوجية

لأول مرة في الولايات المتحدة.. تشغيل مفاعل مصغر نووي يغذي الذكاء الاصطناعي بالطاقة

الكشف عن تفاصيل أول عملية ناجحة لاستعادة انتاج الحيوانات المنوية

أطلس يكشف خفايا الجسم البشري بدقة أرفع بـ50 مرة من شعر الإنسان

المتحف المصري الكبير يتحول إلى "أيقونة خضراء" بدعم ياباني

المزيد