Let  be an entire function such that  is an integer for each positive integer . Then Pólya (1915) showed that if

(1)

(OEIS A002162), where

(2)

is the supremum, then  is a polynomial. Furthermore,  is the best constant (i.e., counterexamples exist for every smaller value).

If  is an entire function with  a Gaussian integer for each Gaussian integer , then Gelfond (1929) proved that there exists a constant  such that

(3)

implies that  is a polynomial. Gramain (1981, 1982) showed that the best such constant is

(4)

(OEIS A086056).

Maser (1980) proved the weaker result that  must be a polynomial if

(5)

where

(6)

and

			(7)
		{2gamma+2ln2+3lnpi-4ln[Gamma(1/4)]}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Masser-GramainConstant/Inline17.gif" style="height:23px; width:219px" />	(8)
			(9)

(OEIS A086057),  is the Euler-Mascheroni constant,  is the Dirichlet beta function,  is the gamma function,

(10)

is known as the Masser-Gramain constant, and  is the minimum nonnegative  for which there exists a complex number  for which the closed disk with center  and radius  contains at least  distinct Gaussian integers.

Gramain and Weber (1985, 1987) have obtained

(11)

which implies

(12)

Gramain (1981, 1982) conjectured that

(13)

which would imply

(14)

(OEIS A086058).

REFERENCES:

Finch, S. R. "Masser-Gramain Constant." §7.2 Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 459-461, 2003.

Gosper, R. W. "http://www.mathsoft.com/asolve/constant/constant.html." math-fun@cs.arizona.edu posting, Sept. 27, 1996.

Gel'fond, A. O. "Sur un théorème de M. G. Pólya." Atti Accad. Naz. Lincei Rend. 10, 568-574, 1929.

Gramain, F. "Sur le théorème de Fukagawa-Gel'fond." Invent. Math. 63, 495-506, 1981.

Gramain, F. "Sur le théorème de Fukagawa-Gel'fond-Gruman-Masser." Séminaire Delange-Pisot-Poitou (Théorie des Nombres), 1980-1981. Boston, MA: Birkhäuser, 1982.

Gramain, F. and Weber, M. "Computing and Arithmetic Constant Related to the Ring of Gaussian Integers." Math. Comput. 44, 241-245, 1985.

Gramain, F. and Weber, M. "Computing and Arithmetic Constant Related to the Ring of Gaussian Integers." Math. Comput. 48, 854, 1987.

Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 116-117, 2003.

Masser, D. W. "Sur les fonctions entières à valeurs entières." C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 291, A1-A4, 1980.

Pólya, G. "Über ganzwertige ganze Funktionen." Rend. Circ. Mat. Palermo 40, 1-16, 1915.

Sloane, N. J. A. Sequences A002162/M4074, A086056, A086057, and A086058 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم صناعة الشبابيك يشرع بإدامة شباكين قديمين لمرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام)

فرقة العباس (عليه السلام) تختتم خدماتها المقدمة للزائرين في سامراء

موكب العتبتين المقدستين يحيي ذكرى استشهاد الإمام الهادي (عليه السلام) في سامراء

العتبة العسكرية المقدسة تكرّم وفد العتبة العباسية المقدسة لمشاركته في تقديم الخدمات للزائرين

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد