Let  be a field of finite characteristic . Then a polynomial  is said to be additive iff  for {a,b,a+b} subset k" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline5.gif" style="height:14px; width:90px" />. For example,  is additive for {1,2}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline7.gif" style="height:14px; width:54px" />, since

A more interesting class of additive polynomials known as absolutely additive polynomials are defined on an algebraic closure  of . For example, for any such ,  is an absolutely additive polynomial, since , for , ..., . The polynomial  is also absolutely additive.

Let the ring of polynomials spanned by linear combinations of  be denoted {tau_p}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline17.gif" style="height:20px; width:33px" />. If , then {tau_p}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline19.gif" style="height:20px; width:33px" /> is not commutative.

Not all additive polynomials are in {tau_p}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline20.gif" style="height:20px; width:33px" />. In particular, if  is an infinite field, then a polynomial  is additive iff {tau_p}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline23.gif" style="height:20px; width:75px" />. For  be a finite field of characteristic , the set of absolutely additive polynomials over  equals {tau_p}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline27.gif" style="height:20px; width:33px" />, so the qualification "absolutely" can be dropped and the term "additive" alone can be used to refer to an element of {tau_p}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline28.gif" style="height:20px; width:33px" />.

If  is a fixed power  and , then {tau}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline32.gif" style="height:14px; width:26px" /> is a ring of polynomials in . Moreover, if {tau}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline34.gif" style="height:14px; width:68px" />, then  for all . In this case,  is said to be a -linear polynomial.

The fundamental theorem of additive polynomials states that if  is a separable polynomial and {omega_1,...,omega_n} subset k" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline40.gif" style="height:14px; width:93px" /> is the set of its roots, then  is additive iff if {omega_1,...,omega_n}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline42.gif" style="height:14px; width:72px" /> is a subgroup.

It therefore follows as a corollary that such a polynomial  is -linear iff its roots form a -vector subspace of .

REFERENCES:

Goss, D. Basic Structures of Function Field Arithmetic. Berlin: Springer-Verlag, pp. 1-33, 1996.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشبابيك: تقديم أكثر من 50 ألف وجبة طعام لزائري الأربعين

قسم الشؤون الخدمية يطلق حملة تنظيف لمنطقة باب بغداد بعد انتهاء زيارة الأربعين

قسم الشؤون الفكرية: نحو 5000 مستفيد من خدمات محطة مجمّع سيد الماء الثقافي

مجمع أبي الفضل العباس (عليه السلام): أكثر من 30 ألف مستفيدة من الخدمات الصحية في زيارة الأربعين

المزيد

الآخبار الصحية

9 أسباب شائعة للرؤية الضبابية يجب معرفتها

تتناولها كل يوم.. 10 وجبات شائعة غنية بـ"السكر الخفي"

7 أسباب شائعة لفقدان الشهية لدى كبار السن

7 فواكه قد تسبب قفزة مفاجئة في سكر الدم

المزيد

الآخبار التكنلوجية

هل تشغيل تكييف السيارة على "الحد الأقصى" ضار؟

دور المكابح في تحسين كفاءة استهلاك الوقود بالسيارات

بالذكاء الاصطناعي.. باحثون يبتكرون مضادات جديدة لنوعين من العدوى البكتيرية

فيتامين سي والتجاعيد.. طبيب يكشف وقت الاستخدام الصحيح

المزيد