The problem of finding the connection between a continuous function  on the boundary  of a region  with a harmonic function taking on the value  on . In general, the problem asks if such a solution exists and, if so, if it is unique. The Dirichlet problem is extremely important in mathematical physics (Courant and Hilbert 1989, pp. 179-180 and 240; Logan 1997; Krantz 1999b).

If  is a continuous function on the boundary of the open unit disk , then define

{1/(2pi)int_0^(2pi)f(e^(ipsi))(1-|z|^2)/(|z-e^(ipsi)|^2)dpsi if z in D(0,1); f(z) if z in partialD(0,1), " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DirichletProblem/NumberedEquation1.gif" style="height:74px; width:325px" />

(1)

where  is the boundary of . Then  is continuous on the closed unit disk  and harmonic on  (Krantz 1999a, p. 93).

For the case of rational boundary data without poles, the resulting solution of the Dirichlet problem is also rational (Ebenfelt and Viscardi 2005), the proof of which led to Viscardi winning the 2005-2006 Siemens-Westinghouse competition (Siemens Foundation 2005; Mathematical Association of America 2006).

REFERENCES:

Courant, R. and Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics, Vol. 1. New York: Wiley, pp. 179-180 and 240, 1989.

Ebenfelt, P. and Viscardi, M. "On the Solution of the Dirichlet Problem with Rational Holomorphic Boundary Data." Comput. Meth. Func. Th. 5, 445-457, 2005. http://www.heldermann.de/CMF/CMF05/CMF052/cmf05027.htm.

Krantz, S. G. "The Dirichlet Problem" and "Application of Conformal Mapping to the Dirichlet Problem." §7.3.3, 7.7.1, and 14.2 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 93, 97-98, and 164-168, 1999a.

Krantz, S. G. A Panorama of Harmonic Analysis. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1999b.

Logan, J. D. Applied Mathematics, 2nd ed. New York: Wiley, 1997.

Mathematical Association of America. "Mathematics Student Wins the Siemens-Westinghouse Competition." Jan. 9, 2006. http://www.maa.org/news/010906westinghouse.html.

Siemens Foundation. "2005 Siemens Competition Nationals." http://www.siemens-foundation.org/competition/2005/2005Nationals.htm#Michael.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الطبية يقدم الخدمات الصحية والعلاجية لزائري مدينة سامراء

العتبة العباسية المقدسة تقدم خدماتها لزائري مرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام) في سامراء

المجمَع العلمي ووفد وزارة التربية يبحثان سبل التعاون المشترك

قسم الشؤون الفكرية يصدر العدد 192 من مجلة الرياحين للأطفال

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد