المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 6967 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر



فضاء المتجهات العام-الفضاءات الجزئية  
  
19685   01:30 صباحاً   التاريخ: 19 / 3 / 2016
المؤلف : علي جاسم التميمي
الكتاب أو المصدر : مقدمة في الجبر الخطي
الجزء والصفحة : 245-252
القسم : الرياضيات / الجبر / الجبر الخطي /

 

الفضاءات الجزئية:

تعريف (1-1):

تسمى المجموعة الجزئية W من الفضاء V، فضاء جزئي في V إذا كانت W نفسها فضاء متجهات تحت عمليتي الجمع والضرب في V.

ملاحظة:

يتضح من التعريف (1-1) أنه لكي نبرهن W فضاء جزئي من V علينا أن نبرهن أن W تحقق الشروط العشرة الواردة في التعريف (1-1)في(فضاء المتجهات الحقيقي). ولكن عدداً من تلك الشروط لا حاجة لتحقيقها هنا لأن W هي جزء من V، هذه الشروط هي m5،m4، m3، m2، A3. لذا سنحتاج فقط برهان الشروط m1، A5، A4، A1.

مبرهنة (1-2):

المجموع الجزئية غير الخالية W من V تكون فضاء جزئي من V إذا وفقط إذا تحقق الشرطان:

1. لكل v،uW فإن v+uW

2. إذا k عدد ثابت و vW فإن KVW

البرهان :

نبرهن الاتجاه الأول.

نفرض W قضاء جزئي، إذن W فضاء متجهات ولهذا فإنها تحقق شروط التعريف (1-1) في(فضاء المتجهات الحقيقي)، ومنها الشرطان 1 و 2.

وبالعكس نفرض الشرطان متحققان.

لما كانت الشروط A2 و A3 و m2 وm3 و m4 و m5 متحققة تلقائياً لأن W مجموعة جزئية من V.

بقي لدينا أن نبرهن الشروط A4 و A5.

نفرض vW ، بموجب الشرط الثاني أعلاه فإن KvW لكل ثابت K. بفرض K = 0 فإن 0V = 0 (مبرهنة (1-2) في(فضاء المتجهات الحقيقي)،  في w وعند فرض K = -1 نحصل على (-1)v = -v في W.

مثال(1):

لتكن w هي مستوى مار بنقطة الأصل [الشكل (1-1) ] و u، v متجهات في W. لذا v+uW وان v + u قطر متوازي الأضلاع، كذلك kv يقع في w ولأي k لأن kv متجه يقع عل امتداد الخط المار بالمتجه v. لذا فإن شروط المبرهنة (1-2) متحققة. عليه فإن W قضاء جزئي.

                                  

 

                                شكل (1-1)

 

مثال(2):

إذا كانت V فضاء متجهات فإن المجموعة {0} و V نفسها فضاءات جزئية من V، (لأن 0+0=0 وk0=0 لكل عدد ثابت k).

الفضاءات الجزئية {0} و V تسمى الفضاءات الجزئية الواضحة. الفضاءات الجزئية في V عدا الواضحة تسمى الفضاءات الجزئية الفعلية.

مثال(3):

نفرض W هو المستقيم المار بنقطة الأصل في R3، فإن W هو فضاء جزئي. واضح هندسياً [الشكل (5-2) ] أن مجموع متجهين واقعين على هذا المستقيم يقع على المستقيم نفسه، كذلك ضرب أي متجه واقع على هذا المستقيم بعدد ثابت يقع على المستقيم نفسه.

 

 

                                        شكل (2-1)

 

مثال(4):

لتكن Pn مجموعة جمع متعددات الحدود التي درجاتها أصغر أو تساوي n. إذا كان 0<m<n فإن المجموعة الجزئية Pm فضاء جزئي فعلي في Pn .

 

مثال(5):

إذا كان U و W فضاءات جزئية في الفضاء V فإن تقاطعهما UW فضاء جزئي في V.

 

مثال(6):

لتكن W مجموعة جميع النقاط (x،y) في R2 بحيث أن x،y0 إذن هذه النقاط تقع في الربع الأول، لهذا فإن W ليست فضاء جزئي تقع في W لكن (-1)v=(-1،-1)لا تقع في W.

 

تعريف (1-3):

ليكن V فضاء متجهات و v1، v2، v3، … ، vn متجهات في V يقال للمتجه v في V بأنه تركيب خطي من المتجهات v1، v2، ، …، vn إذا أمكن كتابة v بالشكل:

                                                          

حيث cn، … ، c2، c1 كميات ثابتة.

 

مثال(7):

نفرض v1 = (1،2،-1) و v2 = (1،0،-1) متجهات في R3 ، فإن v = (1،0،2)  تركيب خطي من المتجهات v1 و v2.

لكي نبرهن تركيب خطي يجب أن نجد c1 و c2 بحيث v = c1v1 + c2v2 أي أن :

                                                                   

عليه:

                                                          

ولكن هذه المعادلات ليست لها حل، عليه فإن v ليست تركيب خطي من v1 و v2.

 

مثال(8):

إذا كانت متجهات في R3 فإن v = (2،1،5،-1) هو تركيب خطي من v1 و v2 و v3

الحل:

نفرض:

                                                          

بالتعويض:

          

وبالمقارنة والتساوي نحصل على:

                             

 

أي أن: 

                                                V=v1+2v2-v3

ومنها فإن v تركيب خطي من v3،v2،v1.

 

تعريف (1-4):

إذا كانت v1،v2،….vn متجهات في V، وأن أي متجه v في V هو تركيب خطي من v1،v2،….vn ، فإن هذه المتجهات يقال بأنها تكون [أو تولد أو تنشأ] V

مثال (9):

المتجهات القياسية I = (1،0،0) ، j = (0،1،0) ، K = (0،0،1) في R3 تولد (تنشأ) R3 يمكن كتابته بالشكل:

                                                           

تركيب خطي من k،j،i.

 

ملاحظة:

إذا كانت Vn، … ، V2، v1 تنشأ الفضاء V، فإننا نقول بأنها Span (V).

 

مثال(10):

 xn،….x2،x،1تنشأ فضاء المتجهات Pn مجموعة جميع متعددات الحدود من الدرجة n) وذلك لأن متعددة حدود ppn(x)  هي عبارة عن تركيب خطيب من xn،….x2،x،1، أي:

                                                                   

مثال(11):

مبرهنة (1-5):

لتكن S = v1، v2، … ، vm مجموعة جزئية من V، فإن:

1. مجموعة جميع التراكيب لمتجهات S، تكتب L(S)، تكون فضاء جزئياً من V.

2. إذا كانت W فضاء جزئي آخر في V يحوي S فإن L(S)CW. بمعنى آخر L(S) هو أصغر فضاء جزئي يحوي S ويسمى الفضاء الجزئي المتولد من S.

البرهان:

1. نفرض أن u، v متجهان في L(S)، أي:

وكذلك:

 

                                       

إذن كل من v + u و kv في L(S). عليه L(S) فضاء جزئي من V. لما كان أي متجه في S يمكن كتابته.

                                                          

فإن L(S) يحتوي على جميع المتجهات vn، … ، v2،v1.

2. نفرض أن W فضاء جزئي يحوي S. لما كان W مغلق بالنسبة للجمع والضرب بكمية ثابتة. لذلك فإن W يحوي على جميع التراكيب الخطية.

                                                                   

لكل المتجهات vn، …، v2،v1 عليه L(S) CW.

مبرهنة (1-6):

لتكن S = v1، v2، …، vm  و  S' = v1، v2، …، vn مجموعتان في V، فإن الفضاء الجزئي المتولد بواسطة = S الفضاء المتولد بواسطة S' إذا وفقط إذا كل متجه في S' هو تركيب خطي من متجهات S وبالعكس.

 

 

 




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.





العتبة العسكرية المقدسة توزع 250 وجبة جديدة من السلات الغذائية للعوائل المتعففة من أهالي سامراء
تزامنا مع ذكرى الاعتداء الاثم لقبة الامامين العسكريين (عليهما السلام)...العتبة الكاظمية المقدسة تقيم...
الامين العام للعتبة العسكرية المقدسة يكرم احد خدام العتبة تثمينا لجهوده المباركة
الامانة العامة للعتبة العسكرية المقدسة تقيم مراسيم التشييع الرمزي لنعش الإمام زين العابدين (عليه السلام)